Найдите угол между единичными векторами а и b, если векторы 0,4а - 2b и 3а - b перпендикулярны.

Для нахождения угла между единичными векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), воспользуемся свойством перпендикулярных векторов. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. 1. **Определим векторы:** У нас есть векторы \( 0.4\mathbf{a} - 2\mathbf{b} \) и \( 3\mathbf{a} - \mathbf{b} \). 2. **Запишем условие перпендикулярности:** Скалярное произведение этих векторов должно равно нулю: \[ (0.4\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) \cdot (3\mathbf{a} - \mathbf{b}) = 0 \] 3. **Раскроем скалярное произведение:** \[ (0.4\mathbf{a}) \cdot (3\mathbf{a}) + (0.4\mathbf{a}) \cdot (-\mathbf{b}) - (2\mathbf{b}) \cdot (3\mathbf{a}) - (2\mathbf{b}) \cdot (-\mathbf{b}) = 0 \] Подставим \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 1 \) и обозначим \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \cos \theta \) (где \( \theta \) — угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \)). Получим: \[ 0.4 \cdot 3 \cdot 1 - 0.4 \cdot \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - 2 \cdot 3 \cdot \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} + 2 \cdot 1 = 0 \] Упрощая, мы получаем: \[ 1.2 - 0.4\cos\theta - 6\cos\theta + 2 = 0 \] Сложим подобные члены: \[ 3.2 - 6.4\cos\theta = 0 \] 4. **Решим уравнение для \( \cos\theta \):** \[ 6.4\cos\theta = 3.2 \quad \Rightarrow \quad \cos\theta = \frac{3.2}{6.4} = \frac{1}{2} \] 5. **Определим угол:** Угол \( \theta \) такой, что \( \cos\theta = \frac{1}{2} \). Это значение соответствует углу: \[ \theta = 60^{\circ} \] Таким образом, угол между единичными векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равен \( 60^{\circ} \).