Для решения задачи о температуре разреженного газа, используя информацию о средней квадратичной скорости и наиболее вероятной скорости молекул, давайте разберем необходимые формулы и шаги.
Шаг 1: Формулы
Средняя квадратичная скорость ( v_{rms} ):
[
v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}
]
где:
- ( k ) — постоянная Больцмана (примерно ( 1.38 \times 10^{-23} \ \text{Дж/К} )),
- ( T ) — температура в Кельвинах,
- ( m ) — масса одной молекулы (в кг).
Наиболее вероятная скорость ( v_{mp} ):
[
v_{mp} = \sqrt{\frac{2kT}{m}}
]
Шаг 2: Условие задачи
Из условия нам известно, что средняя квадратичная скорость отличается от наиболее вероятной скорости на 118 м/с:
[
v_{rms} - v_{mp} = 118 \ \text{м/с}
]
Шаг 3: Выражение для разницы скоростей
Теперь подставим формулы для средней квадратичной и наиболее вероятной скорости:
[
\sqrt{\frac{3kT}{m}} - \sqrt{\frac{2kT}{m}} = 118
]
Обозначим ( x = \sqrt{kT/m} ):
[
\sqrt{3}x - \sqrt{2}x = 118
]
[
(\sqrt{3} - \sqrt{2})x = 118
]
[
x = \frac{118}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}
]
Шаг 4: Подставим значение для ( x )
Теперь можно подсчитать ( x ):
[
\sqrt{3} \approx 1.732, \quad \sqrt{2} \approx 1.414
]
[
x = \frac{118}{1.732 - 1.414} \approx \frac{118}{0.318} \approx 370.75
]
Шаг 5: Найдем температуру
Теперь вернемся к ( x = \sqrt{\frac{kT}{m}} ):
[
\sqrt{\frac{kT}{m}} \approx 370.75
]
Квадратируем обе стороны:
[
\frac{kT}{m} \approx (370.75)^2 \approx 137,146.56
]
Шаг 6: Расчеты
Теперь выразим температуру:
[
T \approx \frac{137,146.56 \cdot m}{k}
]
Для расчета массы молекулы, используем:
- Молярная масса газа — 28 г/моль, что равняется ( 0.028 \ \text{кг/моль} ).
- Число Авогадро ( N_a \approx 6.022 \times 10^{23} \ \text{молекул/моль} ).
- Масса одной молекулы:
[
m = \frac{0.028}{6.022 \times 10^{23}} \approx 4.65 \times 10^{-26} \ \text{кг}
]
Теперь подставим ( m ) и ( k ) и найдем ( T ):
[
T \approx \frac{137,146.56 \cdot 4.65 \times 10^{-26}}{1.38 \times 10^{-23}} \approx \frac{6.38 \times 10^{-22}}{1.38 \times 10^{-23}} \approx 462.68
]
Ответ
Таким образом, округляя до целых:
[
T \approx 463 \ \text{К}
]
Температура разреженного газа в закрытом резервуаре составляет 463 К.
