Рассчитай температуру разреженного газа (28 гмоль) в закрытом резервуаре, учитывая, что средняя квадратичная скорость его молекул отличается от их наиболее вероятной скорости на…

Для решения задачи о температуре разреженного газа, используя информацию о средней квадратичной скорости и наиболее вероятной скорости молекул, давайте разберем необходимые формулы и шаги.

Шаг 1: Формулы

1. Средняя квадратичная скорость \( v_{rms} \): \[ v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \] где:

   • \( k \) — постоянная Больцмана (примерно \( 1.38 \times 10^{-23} \ \text{Дж/К} \)),
   • \( T \) — температура в Кельвинах,
   • \( m \) — масса одной молекулы (в кг).

2. Наиболее вероятная скорость \( v_{mp} \): \[ v_{mp} = \sqrt{\frac{2kT}{m}} \]

Шаг 2: Условие задачи

Из условия нам известно, что средняя квадратичная скорость отличается от наиболее вероятной скорости на 118 м/с: \[ v_{rms} - v_{mp} = 118 \ \text{м/с} \]

Шаг 3: Выражение для разницы скоростей

Теперь подставим формулы для средней квадратичной и наиболее вероятной скорости: \[ \sqrt{\frac{3kT}{m}} - \sqrt{\frac{2kT}{m}} = 118 \] Обозначим \( x = \sqrt{kT/m} \): \[ \sqrt{3}x - \sqrt{2}x = 118 \] \[ (\sqrt{3} - \sqrt{2})x = 118 \] \[ x = \frac{118}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \]

Шаг 4: Подставим значение для \( x \)

Теперь можно подсчитать \( x \): \[ \sqrt{3} \approx 1.732, \quad \sqrt{2} \approx 1.414 \] \[ x = \frac{118}{1.732 - 1.414} \approx \frac{118}{0.318} \approx 370.75 \]

Шаг 5: Найдем температуру

Теперь вернемся к \( x = \sqrt{\frac{kT}{m}} \): \[ \sqrt{\frac{kT}{m}} \approx 370.75 \] Квадратируем обе стороны: \[ \frac{kT}{m} \approx (370.75)^2 \approx 137,146.56 \]

Шаг 6: Расчеты

Теперь выразим температуру: \[ T \approx \frac{137,146.56 \cdot m}{k} \] Для расчета массы молекулы, используем:

• Молярная масса газа — 28 г/моль, что равняется \( 0.028 \ \text{кг/моль} \).
• Число Авогадро \( N_a \approx 6.022 \times 10^{23} \ \text{молекул/моль} \).
• Масса одной молекулы: \[ m = \frac{0.028}{6.022 \times 10^{23}} \approx 4.65 \times 10^{-26} \ \text{кг} \]

Теперь подставим \( m \) и \( k \) и найдем \( T \): \[ T \approx \frac{137,146.56 \cdot 4.65 \times 10^{-26}}{1.38 \times 10^{-23}} \approx \frac{6.38 \times 10^{-22}}{1.38 \times 10^{-23}} \approx 462.68 \]

Ответ

Таким образом, округляя до целых: \[ T \approx 463 \ \text{К} \]

Температура разреженного газа в закрытом резервуаре составляет 463 К.