При каких значениях параметра р уравнение имеет два корня? (p+8)x² + (p+5)x + p = 0
Чтобы определить, при каких значениях параметра \( p \) уравнение \( (p+8)x^2 + (p+5)x + p = 0 \) имеет два корня, рассмотрим общую форму квадратного уравнения:
\[ ax^2 + bx + c = 0, \]
где:
- \( a = p + 8 \),
- \( b = p + 5 \),
- \( c = p \).
Уравнение квадратное, если \( a \neq 0 \). Это означает, что \( p + 8 \neq 0 \), и, следовательно, \( p \neq -8 \).
Теперь для того, чтобы уравнение имело два различных корня, необходимо, чтобы дискриминант \( D \) был положительным. Дискриминант для квадратного уравнения вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac. \]
Подставим значения \( a \), \( b \) и \( c \):
- \( D = (p + 5)^2 - 4(p + 8)p \)
- Раскроем скобки в выражении дискриминанта:
\[ D = (p + 5)^2 - 4(p^2 + 8p) \] \[ D = p^2 + 10p + 25 - 4p^2 - 32p \] \[ D = -3p^2 - 22p + 25. \]
Теперь нам нужно, чтобы этот дискриминант был больше нуля:
\[ -3p^2 - 22p + 25 > 0. \]
Умножим неравенство на -1, что изменит знак:
\[ 3p^2 + 22p - 25 < 0. \]
Теперь найдем корни квадратного неравенства \( 3p^2 + 22p - 25 = 0 \) с помощью дискриминанта:
- Дискриминант \( D' \):
\[ D' = b'^2 - 4a'c' = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-25) \] \[ D' = 484 + 300 = 784. \]
- Находим корни уравнения:
\[ p = \frac{-b' \pm \sqrt{D'}}{2a'} = \frac{-22 \pm \sqrt{784}}{6} = \frac{-22 \pm 28}{6}. \]
Это даёт нам два корня:
- Первый корень:
\[ p_1 = \frac{6}{6} = 1. \]
- Второй корень:
\[ p_2 = \frac{-50}{6} = \frac{-25}{3} \approx -8.33. \]
Теперь, чтобы решить неравенство \( 3p^2 + 22p - 25 < 0 \), мы знаем, что парабола направлена вверх (коэффициент \( a = 3 > 0 \)). Это означает, что неравенство будет выполняться между корнями:
\[ \frac{-25}{3} < p < 1. \]
Таким образом, уравнение \( (p+8)x^2 + (p+5)x + p = 0 \) имеет два различных корня для значений \( p \) в интервале:
\[ p \in \left( \frac{-25}{3}, 1 \right). \]
