Для решения задачи будем использовать законы физики, связанные с движением материальной точки и векторной алгеброй. Рассмотрим каждую часть пошагово.
Дано:
- Масса тела: ( m = 850 , \text{г} = 0.85 , \text{кг} )
- Сила: ( \vec{F} = 8t \hat{i} + 7t \hat{j} , (\text{Н}) )
- Время: ( t = 5 , \text{с} )
- Начальная скорость: ( \vec{v_0} = 0 )
Шаг 1: Найдем ускорение
По второму закону Ньютона, сила равна произведению массы на ускорение:
[
\vec{F} = m \vec{a}
]
Из этого выражения можно найти ускорение:
[
\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}
]
Подставляем силу:
[
\vec{a} = \frac{8t \hat{i} + 7t \hat{j}}{0.85}
]
Шаг 2: Упростим выражение для ускорения
Теперь упростим твёрдые числовые значения:
[
\vec{a} = \frac{8t}{0.85} \hat{i} + \frac{7t}{0.85} \hat{j}
]
Подставляем ( m = 0.85 ):
[
\vec{a} = 9.4118t \hat{i} + 8.2353t \hat{j} , (\text{м/с}^2)
]
Шаг 3: Найдем скорость
Скорость можно найти, интегрируя ускорение по времени:
[
\vec{v}(t) = \int \vec{a} , dt = \int (9.4118t \hat{i} + 8.2353t \hat{j}) , dt
]
Интегрируем:
[
\vec{v}(t) = \left( \frac{9.4118}{2} t^2 \hat{i} + \frac{8.2353}{2} t^2 \hat{j} \right) + \vec{C}
]
Начальная скорость равна нулю, следовательно, константа интегрирования ( \vec{C} = 0 ):
[
\vec{v}(t) = 4.7059 t^2 \hat{i} + 4.11765 t^2 \hat{j}
]
Шаг 4: Найдем скорость в момент времени ( t = 5 , \text{с} )
Подставим ( t = 5 ):
[
\vec{v}(5) = 4.7059 (5^2) \hat{i} + 4.11765 (5^2) \hat{j}
]
[
= 4.7059 \cdot 25 \hat{i} + 4.11765 \cdot 25 \hat{j}
]
[
= 117.6475 \hat{i} + 102.94125 \hat{j} , (\text{м/с})
]
Шаг 5: Найдем модуль скорости
Вычисляем модуль вектора скорости:
[
|\vec{v}| = \sqrt{(117.6475)^2 + (102.94125)^2}
]
[
= \sqrt{13856.194 + 10600.356}
]
[
= \sqrt{24456.55} \approx 156.29 , \text{м/с}
]
Шаг 6: Найдем путь
Для нахождения пути, пройденного точкой за время ( t = 5 , \text{с} ), нужно интегрировать скорость по времени (поскольку начальная скорость равна нулю, это будет просто интеграл скорости):
Путь:
[
s = \int_0^5 \vec{v}(t) , dt = \int_0^5 (4.7059 t^2 \hat{i} + 4.11765 t^2 \hat{j}) , dt
]
[
= \left[ \frac{4.7059}{3} t^3 \hat{i} + \frac{4.11765}{3} t^3 \hat{j} \right]_0^5
]
[
= \left( \frac{4.7059}{3} \cdot 125 \hat{i} + \frac{4.11765}{3} \cdot 125 \hat{j} \right)
]
[
= (196.949 \hat{i} + 171.471 \hat{j}) , \text{м}
]
Ответ
Векторы скорости:
[
\vec{v}(5) \approx 117.65 \hat{i} + 102.94 \hat{j} , \text{м/с}
]
Модуль скорости:
[
|\vec{v}| \approx 156.29 , \text{м/с}
]
Путь:
[
s \approx 196.95 \hat{i} + 171.47 \hat{j} , \text{м} \quad (\text{с учётом компонент})
]
Таким образом, в данной задаче мы нашли скорость, её модуль, а также пройденный путь точки за время 5 секунд.
