На материальную точку массой m=850 г действует сила 𝑭 = 𝟖𝒕𝒊 Ԧ + 𝟕𝒕𝒋 Ԧ(Н), где 𝒊 Ԧ и 𝒋 Ԧединичные орты осей X и Y. Найдите выражение вектора скорости 𝒗 и модуль скорости…

Для решения задачи будем использовать законы физики, связанные с движением материальной точки и векторной алгеброй. Рассмотрим каждую часть пошагово.

Дано:

• Масса тела: \( m = 850 \, \text{г} = 0.85 \, \text{кг} \)
• Сила: \( \vec{F} = 8t \hat{i} + 7t \hat{j} \, (\text{Н}) \)
• Время: \( t = 5 \, \text{с} \)
• Начальная скорость: \( \vec{v_0} = 0 \)

Шаг 1: Найдем ускорение

По второму закону Ньютона, сила равна произведению массы на ускорение: \[ \vec{F} = m \vec{a} \]

Из этого выражения можно найти ускорение: \[ \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} \]

Подставляем силу: \[ \vec{a} = \frac{8t \hat{i} + 7t \hat{j}}{0.85} \]

Шаг 2: Упростим выражение для ускорения

Теперь упростим твёрдые числовые значения: \[ \vec{a} = \frac{8t}{0.85} \hat{i} + \frac{7t}{0.85} \hat{j} \]

Подставляем \( m = 0.85 \): \[ \vec{a} = 9.4118t \hat{i} + 8.2353t \hat{j} \, (\text{м/с}^2) \]

Шаг 3: Найдем скорость

Скорость можно найти, интегрируя ускорение по времени: \[ \vec{v}(t) = \int \vec{a} \, dt = \int (9.4118t \hat{i} + 8.2353t \hat{j}) \, dt \]

Интегрируем: \[ \vec{v}(t) = \left( \frac{9.4118}{2} t^2 \hat{i} + \frac{8.2353}{2} t^2 \hat{j} \right) + \vec{C} \]

Начальная скорость равна нулю, следовательно, константа интегрирования \( \vec{C} = 0 \): \[ \vec{v}(t) = 4.7059 t^2 \hat{i} + 4.11765 t^2 \hat{j} \]

Шаг 4: Найдем скорость в момент времени \( t = 5 \, \text{с} \)

Подставим \( t = 5 \): \[ \vec{v}(5) = 4.7059 (5^2) \hat{i} + 4.11765 (5^2) \hat{j} \] \[ = 4.7059 \cdot 25 \hat{i} + 4.11765 \cdot 25 \hat{j} \] \[ = 117.6475 \hat{i} + 102.94125 \hat{j} \, (\text{м/с}) \]

Шаг 5: Найдем модуль скорости

Вычисляем модуль вектора скорости: \[ |\vec{v}| = \sqrt{(117.6475)^2 + (102.94125)^2} \] \[ = \sqrt{13856.194 + 10600.356} \] \[ = \sqrt{24456.55} \approx 156.29 \, \text{м/с} \]

Шаг 6: Найдем путь

Для нахождения пути, пройденного точкой за время \( t = 5 \, \text{с} \), нужно интегрировать скорость по времени (поскольку начальная скорость равна нулю, это будет просто интеграл скорости):

Путь: \[ s = \int_0^5 \vec{v}(t) \, dt = \int_0^5 (4.7059 t^2 \hat{i} + 4.11765 t^2 \hat{j}) \, dt \] \[ = \left[ \frac{4.7059}{3} t^3 \hat{i} + \frac{4.11765}{3} t^3 \hat{j} \right]_0^5 \] \[ = \left( \frac{4.7059}{3} \cdot 125 \hat{i} + \frac{4.11765}{3} \cdot 125 \hat{j} \right) \] \[ = (196.949 \hat{i} + 171.471 \hat{j}) \, \text{м} \]

Ответ

Векторы скорости: \[ \vec{v}(5) \approx 117.65 \hat{i} + 102.94 \hat{j} \, \text{м/с} \] Модуль скорости: \[ |\vec{v}| \approx 156.29 \, \text{м/с} \] Путь: \[ s \approx 196.95 \hat{i} + 171.47 \hat{j} \, \text{м} \quad (\text{с учётом компонент}) \]

Таким образом, в данной задаче мы нашли скорость, её модуль, а также пройденный путь точки за время 5 секунд.