Площадь ромба можно найти по формуле, использующей длины его диагоналей. Если обозначить диагонали ромба как ( d_1 ) и ( d_2 ), то площадь ( S ) равна:
[
S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}
]
В данной задаче известна одна диагональ ( d_1 = 10 ). Чтобы найти другую диагональ ( d_2 ), мы можем использовать тот факт, что в ромбе диагонали пересекаются пополам и образуют прямоугольные треугольники. Сторона ромба и половины диагоналей образуют эти прямоугольные треугольники.
Обозначим:
- ( a = 13 ) (длина стороны ромба),
- ( d_1 = 10 ) (первая диагональ),
- ( m_1 = \frac{d_1}{2} = 5 ) (половина первой диагонали),
- ( m_2 = \frac{d_2}{2} ) (половина второй диагонали).
По теореме Пифагора для одного из прямоугольных треугольников имеем:
[
a^2 = m_1^2 + m_2^2
]
Подставим известные значения:
[
13^2 = 5^2 + m_2^2
]
Это дает:
[
169 = 25 + m_2^2
]
Выразим ( m_2^2 ):
[
m_2^2 = 169 - 25 = 144
]
Таким образом:
[
m_2 = \sqrt{144} = 12
]
Теперь мы можем найти вторую диагональ ( d_2 ):
[
d_2 = 2m_2 = 2 \cdot 12 = 24
]
Теперь подставим значения диагоналей в формулу для площади:
[
S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{10 \cdot 24}{2} = \frac{240}{2} = 120
]
Таким образом, площадь ромба равна 120 квадратных единиц.
