5. Цилиндр, объем которого равен 87, описан около шара. Найдите объем шара.

Чтобы решить задачу, давайте вспомним формулы для объема цилиндра и шара.

1. Объем цилиндра (V_ц) рассчитывается по формуле: \[ V_{\text{ц}} = \pi r^2 h \] где \(r\) — радиус основания цилиндра, \(h\) — высота цилиндра.

2. Объем шара (V_ш) определяется по формуле: \[ V_{\text{ш}} = \frac{4}{3} \pi R^3 \] где \(R\) — радиус шара.

Теперь, рассматривая условия задачи: у нас есть цилиндр, объем которого равен 87. Цилиндр описан около шара, что значит, что шар помещается внутри цилиндра, касаясь его стенок и основания.

Поскольку цилиндр описан около шара, это значит, что диаметр шара равен диаметру основания цилиндра, а высота цилиндра равна диаметру шара. Таким образом, можем определить следующее:

• Радиус шара \(R\) равен половине высоты цилиндра \(h\) (или радиусу основания цилиндра \(r\)): \[ R = r = \frac{h}{2} \]

Поскольку объем нашего цилиндра равен 87, подставляем это значение в формулу объема цилиндра: \[ \pi r^2 h = 87 \]

Итак, подставляем \(h = 2R\) в уравнение:

\[ \pi r^2 (2R) = 87 \]

Если \(r = R\) (так как радиус шара равен радиусу основания цилиндра):

\[ \pi R^2 (2R) = 87 \\ 2\pi R^3 = 87 \\ R^3 = \frac{87}{2\pi} \]

Теперь можем найти объем шара:

\[ V_{\text{ш}} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{87}{2\pi}\right) \\ = \frac{4}{3} \cdot \frac{87}{2} \\ = \frac{4 \cdot 87}{6} = \frac{348}{6} = 58 \]

Таким образом, объем шара, который описан цилиндром с объемом 87, равен 58.