Чтобы решить задачу, давайте вспомним формулы для объема цилиндра и шара.
Объем цилиндра (V_ц) рассчитывается по формуле:
[
V_{\text{ц}} = \pi r^2 h
]
где (r) — радиус основания цилиндра, (h) — высота цилиндра.
Объем шара (V_ш) определяется по формуле:
[
V_{\text{ш}} = \frac{4}{3} \pi R^3
]
где (R) — радиус шара.
Теперь, рассматривая условия задачи: у нас есть цилиндр, объем которого равен 87. Цилиндр описан около шара, что значит, что шар помещается внутри цилиндра, касаясь его стенок и основания.
Поскольку цилиндр описан около шара, это значит, что диаметр шара равен диаметру основания цилиндра, а высота цилиндра равна диаметру шара. Таким образом, можем определить следующее:
- Радиус шара (R) равен половине высоты цилиндра (h) (или радиусу основания цилиндра (r)):
[
R = r = \frac{h}{2}
]
Поскольку объем нашего цилиндра равен 87, подставляем это значение в формулу объема цилиндра:
[
\pi r^2 h = 87
]
Итак, подставляем (h = 2R) в уравнение:
[
\pi r^2 (2R) = 87
]
Если (r = R) (так как радиус шара равен радиусу основания цилиндра):
[
\pi R^2 (2R) = 87 \
2\pi R^3 = 87 \
R^3 = \frac{87}{2\pi}
]
Теперь можем найти объем шара:
[
V_{\text{ш}} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{87}{2\pi}\right) \
= \frac{4}{3} \cdot \frac{87}{2} \
= \frac{4 \cdot 87}{6} = \frac{348}{6} = 58
]
Таким образом, объем шара, который описан цилиндром с объемом 87, равен 58.
