∫_4^5 (4-x)^3 dх

Для решения определённого интеграла \( \int_{4}^{5} (4-x)^3 \, dx \), будем следовать пошаговой инструкции:

Шаг 1: Найти первообразную

Сначала найдем первообразную функции \( (4-x)^3 \). Для этого мы применим замену переменной.

Пусть: \[ u = 4 - x \]

Тогда, дифференцируя обе стороны, получаем: \[ du = -dx \quad \Rightarrow \quad dx = -du \]

Теперь изменим также пределы интегрирования. Когда \( x = 4 \): \[ u = 4 - 4 = 0 \] Когда \( x = 5 \): \[ u = 4 - 5 = -1 \]

Теперь интеграл можно переписать, заменив \( x \) на \( u \): \[ \int_{4}^{5} (4-x)^3 \, dx = \int_{0}^{-1} u^3 (-du) = -\int_{0}^{-1} u^3 \, du \]

Изменим пределы интегрирования обратно: \[ -\int_{0}^{-1} u^3 \, du = \int_{-1}^{0} u^3 \, du \]

Шаг 2: Вычислить интеграл

Теперь мы можем выполнить интегрирование: \[ \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C \]

Поэтому: \[ \int_{-1}^{0} u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{-1}^{0} \]

Теперь подставим пределы: \[ = \frac{0^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} \]

Шаг 3: Подвести итог

Значит, значение определённого интеграла \( \int_{4}^{5} (4-x)^3 \, dx \) равно: \[ -\frac{1}{4} \]

Таким образом, ответ: \[ \int_{4}^{5} (4-x)^3 \, dx = -\frac{1}{4} \]

Этот результат показывает, что площадь под графиком функции в пределах от 4 до 5 (где функция имеет отрицательные значения) равна \(-\frac{1}{4}\).