Из пунктов А и В, расстояние между которыми 16 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 10 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А, если…
Из пунктов А и В, расстояние между которыми 16 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 10 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А, если известно, что он шёл со скоростью, на 4 км/ч большей, чем пешеход, шедший из В, и сделал в пути остановку на 15 минут
Для решения этой задачи давайте обозначим некоторые обозначения и выясним, что нам известно.
Обозначим переменные:
- Пусть скорость пешехода из пункта В равна \( v \) км/ч.
- Тогда скорость пешехода из пункта А будет \( v + 4 \) км/ч, так как он идёт на 4 км/ч быстрее.
Известные данные:
- Расстояние между пунктами А и В = 16 км.
- Пешеход из А встречается с пешеходом из В на расстоянии 10 км от А, что означает, что он прошёл 10 км.
- Пешеход из В прошёл \( 16 - 10 = 6 \) км.
Формула для времени:
Время, затраченное на путь, можно рассчитать по формуле: \[ \text{время} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} \]Время для каждого пешехода:
- Время, затраченное пешеходом из А, будет: \[ t_A = \frac{10}{v + 4} + \frac{15}{60} \text{ (15 минут в часах)} \]
- Время, затраченное пешеходом из В: \[ t_B = \frac{6}{v} \]
Условие о встрече:
Пешеходы вышли одновременно, значит времена в момент встречи равны: \[ t_A = t_B \]Подставим выражения для времени: \[ \frac{10}{v + 4} + \frac{1}{4} = \frac{6}{v} \]
Решим уравнение.
Умножим всё уравнение на \( 4v(v + 4) \) (чтобы избавиться от дробей): \[ 40v + v(v + 4) = 24(v + 4) \]Раскроем скобки и приведём подобные члены: \[ 40v + v^2 + 4v = 24v + 96 \] \[ v^2 + 20v - 96 = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a = 1, b = 20, c = -96 \): \[ v = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96)}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 384}}{2} = \frac{-20 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{-20 \pm 28}{2} \]Это даёт два возможных решения:
- \( v_1 = \frac{8}{2} = 4 \)
- \( v_2 = \frac{-48}{2} = -24 \) (не рассматриваем, так как скорость не может быть отрицательной)
Теперь найдем скорость пешехода из А:
Скорость пешехода из А: \[ v_A = v + 4 = 4 + 4 = 8 \text{ км/ч} \]
Ответ: Скорость пешехода, шедшего из А, составляет 8 км/ч.
