В единичном Кубе А... D1 найдите расстояние от точки В до плоскости ADD1

Чтобы найти расстояние от точки \( B \) в единичном кубе до плоскости \( ADD1 \), давайте проанализируем ситуацию пошагово.

Шаг 1: Определим координаты вершин куба

Единичный куб имеет следующие вершины с определением координат:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( B(1, 0, 0) \)
• \( C(1, 1, 0) \)
• \( D(0, 1, 0) \)
• \( D1(0, 0, 1) \)
• \( C1(1, 0, 1) \)
• \( A1(0, 1, 1) \)
• \( B1(1, 1, 1) \)

Шаг 2: Определим координаты точки \( B \)

Находим точку \( B \):

• Точка \( B \) находится в координатах \( (1, 0, 0) \).

Шаг 3: Определяем плоскость \( ADD1 \)

Плоскость \( ADD1 \) задана вершинами:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( D(0, 1, 0) \)
• \( D1(0, 0, 1) \)

Шаг 4: Находим уравнение плоскости

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки, используем метод векторов.

1. Векторы, задающие плоскость:

   • \( \vec{AD} = D - A = (0, 1, 0) - (0, 0, 0) = (0, 1, 0) \)
   • \( \vec{AA1} = D1 - A = (0, 0, 1) - (0, 0, 0) = (0, 0, 1) \)

2. Нормальный вектор плоскости: Для нахождения нормального вектора \( \vec{n} \) к плоскости, вычисляем векторное произведение \( \vec{AD} \times \vec{AD1} \):

   \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \]

   После вычислений получаем: \[ \vec{n} = (1, 0, 0) \]

3. Уравнение плоскости: Уравнение плоскости можно записать как \( 1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = d \). Подставив точку \( A(0, 0, 0) \): \[ d = 0 \] Уравнение плоскости: \[ x = 0 \]

Шаг 5: Вычисляем расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки \( B(1,0,0) \) до плоскости \( x = 0 \) вычисляем по формуле: \[ \text{Расстояние} = |ax_0 + by_0 + cz_0 - d| / \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \] где \( (a, b, c) \) — коэффиценты уравнения плоскости, а \( (x_0, y_0, z_0) \) — координаты точки.

Подставляя значения:

• \( a = 1, b = 0, c = 0, d = 0 \) и \( (x_0, y_0, z_0) = (1, 0, 0) \): \[ \text{Расстояние} = |1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - 0| / \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = |1| / 1 = 1 \]

Ответ

Расстояние от точки \( B \) до плоскости \( ADD1 \) равно \( 1 \).