Рассмотрим квадрат, вписанный в окружность, радиус которой мы обозначим (R). Сторона квадрата равна 6, это значит, что полуторная диагональ квадрата равна:
[
d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}.
]
Радиус окружности (вписанной в квадрат) равен половине диагонали квадрата:
[
R = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}.
]
Теперь найдем сторону равностороннего треугольника, описанного вокруг этой окружности. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}},
]
где (a) — сторона равностороннего треугольника. Уравнивая два выражения для радиуса, получаем:
[
3\sqrt{2} = \frac{a}{\sqrt{3}}.
]
Отсюда находим сторону треугольника (a):
[
a = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}.
]
Теперь мы можем найти площадь равностороннего треугольника по формуле:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2.
]
Подставим значение стороны треугольника (a):
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} (3\sqrt{6})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 27 = \frac{27\sqrt{3}}{4}.
]
Таким образом, площадь равностороннего треугольника, описанного вокруг окружности, равного (3\sqrt{2}), равна:
[
\boxed{\frac{27\sqrt{3}}{4}}.
]
