В окружность вписан квадрат сторона которого равна шесть. Найдите площадь равностороннего треугольника, описанного вокруг этой окружности.

Рассмотрим квадрат, вписанный в окружность, радиус которой мы обозначим \(R\). Сторона квадрата равна 6, это значит, что полуторная диагональ квадрата равна:

\[ d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}. \]

Радиус окружности (вписанной в квадрат) равен половине диагонали квадрата:

\[ R = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}. \]

Теперь найдем сторону равностороннего треугольника, описанного вокруг этой окружности. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}}, \]

где \(a\) — сторона равностороннего треугольника. Уравнивая два выражения для радиуса, получаем:

\[ 3\sqrt{2} = \frac{a}{\sqrt{3}}. \]

Отсюда находим сторону треугольника \(a\):

\[ a = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}. \]

Теперь мы можем найти площадь равностороннего треугольника по формуле:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2. \]

Подставим значение стороны треугольника \(a\):

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} (3\sqrt{6})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 27 = \frac{27\sqrt{3}}{4}. \]

Таким образом, площадь равностороннего треугольника, описанного вокруг окружности, равного \(3\sqrt{2}\), равна:

\[ \boxed{\frac{27\sqrt{3}}{4}}. \]