Для решения этой задачи нам нужно использовать комбинаторику. Задача сводится к выбору определённого количества объектов из общего множества, что является классической задачей на комбинации.
Итак, у нас есть:
- Всего 20 тетрадей.
- Из них 12 должны быть обложкой вверх.
Мы ищем количество способов выбрать 12 тетрадей, которые будут обложкой вверх, из 20 тетрадей. Это число комбинаций из 20 по 12, что обозначается как (C_{20}^{12}) и вычисляется по формуле:
[
C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! \times (n-k)!}
]
Где (n) — общее количество тетрадей, а (k) — количество тетрадей, которые должны быть обложкой вверх.
Подставим наши значения:
[
C_{20}^{12} = \frac{20!}{12! \times (20-12)!} = \frac{20!}{12! \times 8!}
]
Теперь давайте посчитаем:
Разложим факториалы:
- (20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12!)
- (12!) находится в числителе и знаменателе, поэтому сокращается.
- (8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)
Подставим и упростим дробь:
[
C_{20}^{12} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}
]
- Произведите вычисления:
- В числителе: (20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 = 5,079,110,400)
- В знаменателе: (8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40,320)
- Выполните деление:
[
C_{20}^{12} = \frac{5,079,110,400}{40,320} = 125,970
]
Таким образом, стопку из 20 тетрадей можно положить так, чтобы 12 из них были обложкой вверх, (125,970) способами.
