Для решения этой задачи мы будем использовать формулы для потенциальной и кинетической энергий.
Обозначения:
- ( h_0 = 12 , \text{м} ) — начальная высота.
- ( h ) — высота, на которой кинетическая энергия в три раза больше потенциальной.
- ( g = 10 , \text{м/с}^2 ) — ускорение свободного падения.
1. Формулы для энергий:
Потенциальная энергия ( E_p ) тела на высоте ( h ) определяется как:
[
E_p = m \cdot g \cdot h,
]
где ( m ) — масса тела.
Кинетическая энергия ( E_k ) тела, которое падает, определяется как:
[
E_k = \frac{1}{2} m v^2.
]
При этом по закону сохранения энергии, вся потенциальная энергия в начале падения превращается в кинетическую энергию и потенциальную энергию, когда тело падает на высоту ( h ):
[
E_{total} = E_p(h0) = E_p(h) + E_k(h).
]
2. Потенциальная энергия на начальной высоте:
На высоте ( h_0 ):
[
E_{p0} = m \cdot g \cdot h_0 = m \cdot 10 \cdot 12 = 120m.
]
3. Потенциальная энергия на высоте h:
На высоте ( h ):
[
E_p(h) = m \cdot g \cdot h = m \cdot 10 \cdot h.
]
4. Кинетическая энергия на высоте h:
Кинетическая энергия в этот момент будет равна:
[
E_k = E_{p0} - E_p(h) = 120m - m \cdot 10 \cdot h.
]
5. Условие задачи:
По условию задачи, кинетическая энергия в три раза больше потенциальной энергии, то есть:
[
E_k = 3 \cdot E_p(h).
]
Подставим наши выражения:
[
120m - 10mh = 3 \cdot (10mh).
]
6. Упростим уравнение:
Первое подставим ( E_p(h) ):
[
120m - 10mh = 30mh.
]
Теперь перенесем все в одно уравнение:
[
120m = 10mh + 30mh,
]
[
120m = 40mh.
]
7. Разделим обе стороны на ( m ):
[
120 = 40h.
]
8. Найдем h:
[
h = \frac{120}{40} = 3 , \text{м}.
]
9. Ответ:
Таким образом, высота ( h ), на которой кинетическая энергия в три раза больше потенциальной, составляет ( 3 , \text{м} ) от поверхности Земли.
