Решим задачу по шагам, применяя формулы для потенциальной и кинетической энергии.
Шаг 1: Понимание условий задачи
Мы имеем тело, которое свободно падает с высоты ( h_0 = 12 ) м. Нам нужно найти высоту ( h ), на которой кинетическая энергия ( E_k ) в три раза больше потенциальной энергии ( E_p ).
Шаг 2: Формулы для энергии
Потенциальная энергия ( E_p ) определяется как:
[
E_p = mgh
]
где:
- ( m ) — масса тела (она нам не нужна для дальнейших расчетов, так как она будет сокращаться),
- ( g = 10 , \text{м/с}^2 ) — ускорение свободного падения,
- ( h ) — высота над уровнем земли.
Кинетическая энергия ( E_k ) тела определяется как:
[
E_k = \frac{1}{2}mv^2
]
где ( v ) — скорость тела.
Шаг 3: Связь между высотой и скоростью
Когда объект падает с высоты, его потенциальная энергия преобразуется в кинетическую. На высоте ( h ) кинетическая и потенциальная энергии можно связать следующим образом:
Потенциальная энергия на высоте ( h ):
[
E_p = mg h
]
Потенциальная энергия на высоте ( h_0 ):
[
E_{p0} = mg h_0
]
Кинетическая энергия на высоте ( h ) равняется разности между начальной потенциальной энергией и текущей потенциальной энергией:
[
E_k = E_{p0} - E_p = mg h_0 - mg h = mg (h_0 - h)
]
Шаг 4: Условие из задачи
По условию задачи:
[
E_k = 3E_p
]
Подставим выражения для энергий:
[
mg(h_0 - h) = 3(mgh)
]
Можно сократить массу ( m ) и гравитационное ускорение ( g ):
[
h_0 - h = 3h
]
Шаг 5: Решение уравнения
Перепишем уравнение:
[
h_0 = 3h + h = 4h
]
Теперь выразим ( h ):
[
h = \frac{h_0}{4} = \frac{12 , \text{м}}{4} = 3 , \text{м}
]
Ответ
Тело будет находиться на высоте ( h = 3 ) м от поверхности Земли, когда его кинетическая энергия будет в три раза больше потенциальной энергии.
