Решить

Чтобы упростить данное выражение, можно использовать свойства тригонометрических функций и формулы приведения. Рассмотрим выражение:

\[ \frac{\cos 40^\circ \cdot \cos 17^\circ + \sin 40^\circ \cdot \sin 17^\circ}{\sin 10^\circ \cdot \cos 13^\circ + \cos 10^\circ \cdot \sin 13^\circ} \]

Числитель:

Используем формулу косинуса суммы: \[ \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B = \cos(A - B) \]

Подставляем: \[ \cos 40^\circ \cdot \cos 17^\circ + \sin 40^\circ \cdot \sin 17^\circ = \cos(40^\circ - 17^\circ) = \cos 23^\circ \]

Знаменатель:

Используем формулу синуса суммы: \[ \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B = \sin(A + B) \]

Подставляем: \[ \sin 10^\circ \cdot \cos 13^\circ + \cos 10^\circ \cdot \sin 13^\circ = \sin(10^\circ + 13^\circ) = \sin 23^\circ \]

Полное выражение:

Теперь наше выражение выглядит так: \[ \frac{\cos 23^\circ}{\sin 23^\circ} \]

Это выражение можно записать как: \[ \cot 23^\circ \]

Итак, данное выражение упрощается до \(\cot 23^\circ\).