2.3.6. Сформулируйте следующие теоремы в импликативной форме и выделите разъяснительную часть, условие и заключение: а) Диагонали прямоугольника равны. б) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. в) Вертикальные углы равны. г) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. д) В правильный многоугольник можно вписать окружность. е) Внутренние накрест лежащие углы равны. ж) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. 2.3.7. Выделите условие и заключение в каждой из следующих теорем: а) Для того чтобы диагонали четырехугольника делились точкой пересечения пополам, достаточно, чтобы этот четырехугольник был параллелограммом. б) Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо, чтобы противоположные стороны его были попарно равны. в) Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы высота и медиана, проведенные из одной вершины совпали. г) Для того чтобы сумма делилась на число, достаточно, чтобы каждое слагаемое суммы делилось на это число. 2.3.8. Для следующих теорем сформулируйте обратные, противоположные и обратные противоположным высказывания. Установите их истинность: а) если один из множителей делится на 23, то все произведение делится на 23; б) если число натуральное, то оно равно своему модулю; в) если четырехугольник – ромб, то противоположные углы его попарно равны; г) если треугольник правильный, то вокруг него можно описать окружность; д) если фигура квадрат, то она имеет центр симметрии; е) если дуги заключены между параллельными хордами, то они равны; ж) если фигура прямоугольник, то диагонали его точкой пересечения делятся пополам; з) если число представляется произведением трех последовательных натуральных чисел, то оно делится на 6; и) если дискриминант квадратного уравнения равен нуля, то это уравнение имеет два равных действительных корня. 2.3.9. Вместо многоточия вставьте термины «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно. Ответ обоснуйте в каждом случае: а) для того чтобы четырехугольник был квадратом, …, чтобы диагонали его были равны; б) для того чтобы сумма двух натуральных чисел была больше 40, …, чтобы хотя бы одно из слагаемых этой суммы было больше 20; в) для того чтобы число делилось на 3, …, чтобы оно делилось на 6; г) для того чтобы разность двух чисел была четной,…, чтобы оба компонента вычитания были четными; д) для того чтобы прямые пересекались, …, чтобы они лежали в одной плоскости.

Давайте решим каждую из задач, предоставляя пошаговые объяснения. ### Задача 2.3.6. Формулировка теорем в импликативной форме **Теорема:** формулируется в виде «Если [условие], то [заключение]». а) **Диагонали прямоугольника равны.** **Импликативная форма:** Если фигура является прямоугольником, то ее диагонали равны. - **Условие:** Фигура является прямоугольником. - **Заключение:** Ее диагонали равны. б) **Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.** **Импликативная форма:** Если фигура является ромбом, то ее диагонали взаимно перпендикулярны. - **Условие:** Фигура является ромбом. - **Заключение:** Ее диагонали взаимно перпендикулярны. в) **Вертикальные углы равны.** **Импликативная форма:** Если два угла являются вертикальными, то они равны. - **Условие:** Два угла являются вертикальными. - **Заключение:** Они равны. г) **В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.** **Импликативная форма:** Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны. - **Условие:** Треугольник равнобедренный. - **Заключение:** Углы при основании равны. д) **В правильный многоугольник можно вписать окружность.** **Импликативная форма:** Если многоугольник правильный, то в него можно вписать окружность. - **Условие:** Многоугольник правильный. - **Заключение:** В него можно вписать окружность. е) **Внутренние накрест лежащие углы равны.** **Импликативная форма:** Если углы накрест лежащие, то они равны. - **Условие:** Углы накрест лежащие. - **Заключение:** Они равны. ж) **Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.** **Импликативная форма:** Если угол вписан в окружность и опирается на дугу, то его измерение равно половине меры дуги. - **Условие:** Угол вписан в окружность и опирается на дугу. - **Заключение:** Его измерение равно половине меры дуги. --- ### Задача 2.3.7. Условие и заключение в теоремах а) Для того чтобы диагонали четырехугольника делились точкой пересечения пополам, **Условие:** Четырехугольник является параллелограммом. **Заключение:** Диагонали делятся точкой пересечения пополам. б) Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, **Условие:** Противоположные стороны попарно равны. **Заключение:** Четырехугольник является параллелограммом. в) Для того чтобы треугольник был равнобедренным, **Условие:** Высота и медиана из одной вершины совпадают. **Заключение:** Треугольник равнобедренный. г) Для того чтобы сумма делилась на число, **Условие:** Каждое слагаемое суммы делится на это число. **Заключение:** Сумма делится на это число. --- ### Задача 2.3.8. Формулировка обратных, противоположных и обратных противоположным высказываний Для проверки истинности воспользуемся логической формой теорем. а) Если один из множителей делится на 23, то все произведение делится на 23. - **Обратное**: Если произведение делится на 23, то один из множителей делится на 23. (истинно) - **Противоположное**: Если один из множителей не делится на 23, то произведение не делится на 23. (ложно) - **Обратное противоположное**: Если произведение не делится на 23, то один из множителей не делится на 23. (ложно) б) Если число натуральное, то оно равно своему модулю. - **Обратное**: Если число равно своему модулю, то оно натуральное. (ложно) - **Противоположное**: Если число не натуральное, то оно не равно своему модулю. (ложно) - **Обратное противоположное**: Если число не равно своему модулю, то оно не натуральное. (ложно) в) Если четырехугольник ромб, то противоположные углы его попарно равны. - **Обратное**: Если противолежащие углы попарно равны, то четырехугольник ромб. (ложно) - **Противоположное**: Если углы не попарно равны, то фигура не является ромбом. (ложно) - **Обратное противоположное**: Если фигура не ромб, то ее противолежащие углы не попарно равны. (ложно) г) Если треугольник правильный, то вокруг него можно описать окружность. - **Обратное**: Если вокруг треугольника можно описать окружность, то он правильный. (ложно) - **Противоположное**: Если треугольник не правильный, то вокруг него нельзя описать окружность. (ложно) - **Обратное противоположное**: Если вокруг треугольника нельзя описать окружность, то он не правильный. (ложно) д) Если фигура квадрат, то она имеет центр симметрии. - **Обратное**: Если фигура имеет центр симметрии, то она квадрат. (ложно) - **Противоположное**: Если фигура не квадрат, то она не имеет центр симметрии. (ложно) - **Обратное противоположное**: Если фигура не имеет центр симметрии, то она не квадрат. (истинно) е) Если дуги заключены между параллельными хордами, то они равны. - **Обратное**: Если дуги равны, то они заключены между параллельными хордами. (ложно) - **Противоположное**: Если дуги не равны, то они не заключены между параллельными хордами. (ложно) - **Обратное противоположное**: Если дуги не заключены между параллельными хордами, то они не равны. (ложно) ж) Если фигура прямоугольник, то диагонали его точкой пересечения делятся пополам. - **Обратное**: Если диагонали делятся точкой пересечения пополам, то фигура прямоугольник. (ложно) - **Противоположное**: Если фигура не прямоугольник, то диагонали не делятся точкой пересечения пополам. (ложно) - **Обратное противоположное**: Если диагонали не делятся точкой пересечения пополам, то фигура не прямоугольник. (истинно) з) Если число представляется произведением трех последовательных натуральных чисел, то оно делится на 6. - **Обратное**: Если число делится на 6, то оно представляется как произведение трех последовательных натуральных чисел. (ложно) - **Противоположное**: Если число не делится на 6, то оно не представляется как произведение трех последовательных натуральных чисел. (ложно) - **Обратное противоположное**: Если число не представляется как произведение трех последовательных натуральных чисел, то оно не делится на 6. (ложно) и) Если дискриминант квадратного уравнения равен нуля, то это уравнение имеет два равных действительных корня. - **Обратное**: Если уравнение имеет два равных действительных корня, то дискриминант равен нулю. (истинно) - **Противоположное**: Если уравнение не имеет два равных действительных корня, то дискриминант не равен нулю. (ложно) - **Обратное противоположное**: Если дискриминант не равен нулю, то уравнение не имеет два равных действительных корня. (истинно) --- ### Задача 2.3.9. Вставьте термины а) Для того чтобы четырехугольник был квадратом, **необходимо**, чтобы диагонали его были равны. **Обоснование:** Одна из характеристик квадрата – равенство диагоналей. б) Для того чтобы сумма двух натуральных чисел была больше 40, **достаточно**, чтобы хотя бы одно из слагаемых этой суммы было больше 20. **Обоснование:** Если одно из чисел больше 20, сумма обязательно будет больше 40. в) Для того чтобы число делилось на 3, **необходимо**, чтобы оно делилось на 6. **Обоснование:** 6 — это кратное числа 3, но не обратное. Например, 9 делится на 3, но не на 6. г) Для того чтобы разность двух чисел была четной, **необходимо и достаточно**, чтобы оба компонента вычитания были четными. **Обоснование:** Разности четных чисел всегда будут четными, и наоборот. д) Для того чтобы прямые пересекались, **достаточно**, чтобы они лежали в одной плоскости. **Обоснование:** Две прямые в одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны. Надеюсь, это поможет вам подготовиться к экзаменам! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!