Давайте разберем каждую из ваших задач по порядку.
Задача 1: Решите уравнения
а) ( 7x^2 - 9x + 2 = 0 )
Это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта ( D = b^2 - 4ac ), где ( a = 7 ), ( b = -9 ), и ( c = 2 ).
- Находим дискриминант:
[
D = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25
]
- Так как ( D > 0 ), у уравнения два различных корня. Используем формулу:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
[
x_1 = \frac{9 + 5}{14} = 1, \quad x_2 = \frac{9 - 5}{14} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}
]
Итог: ( x_1 = 1 ), ( x_2 = \frac{2}{7} ).
б) ( 5x^2 - 12x = 0 )
- Вынесем ( x ) за скобки:
[
x(5x - 12) = 0
]
Это дает два корня:
[
x = 0 \quad \text{или} \quad 5x - 12 = 0 \implies x = \frac{12}{5} = 2.4
]
Итог: ( x_1 = 0 ), ( x_2 = 2.4 ).
в) ( 7x^2 - 28 = 0 )
- Переносим 28 в другую сторону:
[
7x^2 = 28
]
- Делим обе стороны на 7:
[
x^2 = 4
]
- Извлекаем корень:
[
x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2
]
Итог: ( x_1 = 2 ), ( x_2 = -2 ).
г) ( x^2 + 20x + 91 = 0 )
- Находим дискриминант:
[
D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 91 = 400 - 364 = 36
]
- Так как ( D > 0 ), у уравнения два различных корня:
[
x = \frac{-20 \pm 6}{2}
]
[
x_1 = \frac{-14}{2} = -7, \quad x_2 = \frac{-26}{2} = -13
]
Итог: ( x_1 = -7 ), ( x_2 = -13 ).
Задача 2: Периметр и площадь прямоугольника
У нас есть:
- Периметр ( P = 26 ) см
- Площадь ( S = 36 ) см²
Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ).
- Периметр:
[
P = 2(a + b) = 26 \implies a + b = 13
]
- Площадь:
[
S = ab = 36
]
Теперь мы имеем систему уравнений:
- ( a + b = 13 )
- ( ab = 36 )
Выразим ( b ) через ( a ):
[
b = 13 - a
]
Подставим во второе уравнение:
[
a(13 - a) = 36
]
[
13a - a^2 = 36 \implies a^2 - 13a + 36 = 0
]
Находим дискриминант:
[
D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25
]
Теперь решим:
[
a = \frac{13 \pm 5}{2} \implies a_1 = 9, a_2 = 4
]
Тогда стороны: ( a = 9 ) см и ( b = 4 ) см или наоборот.
Задача 3: Решите уравнения
а) ( (x - 2) = (x - 9) )
Упростим:
[
x - 2 = x - 9
]
Это уравнение не имеет решений, так как оно упрощается до ( -2 = -9 ), что неверно.
б) ( (x - 5)3 = (x + 10)4 )
Раскроем скобки:
[
3x - 15 = 4x + 40
]
Переносим ( 3x ) в другую сторону:
[
-15 - 40 = x \implies -55 = x \implies x = -55
]
в) ( (1 + 2x) + (x - 3)2 = 212 )
Раскроем скобки:
[
1 + 2x + 2x - 6 = 212
]
Соберем похожие:
[
4x - 5 = 212
]
Переносим -5:
[
4x = 217 \implies x = \frac{217}{4} = 54.25
]
Вот все решения задач. Если нужны дополнительные разъяснения или помощь, дайте знать!
