Чтобы решить задачу, давайте обозначим три числа, которые образуют геометрическую прогрессию (ГП), как ( h ), ( m ), и ( k ). По условию задачи:
Сумма чисел:
[
h + m + k = 78
]
Геометрическая прогрессия:
В ГП отношение между последовательными членами постоянное. Есть две возможные ситуации для трех чисел:
- ( m^2 = h \cdot k ) (средний член в квадрате равен произведению крайних)
Арифметическая прогрессия (АП):
Эти же числа также являются первым, третьим и девятым членами некоторой АП. В этом случае:
- Если ( a ) — первый член АП, а ( d ) — разность прогрессии, тогда:
- Первый член: ( h = a )
- Третий член: ( m = a + 2d )
- Девятый член: ( k = a + 8d )
Теперь мы можем выразить ( m ) и ( k ) через ( a ) и ( d ):
[
m = a + 2d,
]
[
k = a + 8d.
]
Подставим ( m ) и ( k ) в уравнение суммы:
[
h + m + k = a + (a + 2d) + (a + 8d) = 78.
]
Упрощая это, получаем:
[
3a + 10d = 78.
]
Теперь решим это уравнение (1):
[
3a + 10d = 78 \quad (1).
]
Теперь вспомним, что из условия ГП выполняется:
[
m^2 = h \cdot k \Rightarrow (a + 2d)^2 = a \cdot (a + 8d).
]
Раскроем обе стороны:
[
(a + 2d)^2 = a^2 + 4ad + 4d^2,
]
[
h \cdot k = a \cdot (a + 8d) = a^2 + 8ad.
]
Теперь приравняем их:
[
a^2 + 4ad + 4d^2 = a^2 + 8ad.
]
Упростим это:
[
4d^2 + 4ad = 8ad,
]
[
4d^2 - 4ad = 0,
]
[
4d(d - a) = 0.
]
Из этого уравнения видно, что либо ( d = 0 ), либо ( d = a ). Если ( d = 0 ), члены прогрессии будут равны, что противоречит условию. Следовательно, ( d = a ).
Подставляем ( d = a ) в уравнение (1):
[
3a + 10a = 78,
]
[
13a = 78 \Rightarrow a = 6.
]
Так как ( d = a ), то ( d = 6 ). Теперь подставим значения ( a ) и ( d ) для нахождения ( h ), ( m ) и ( k ):
[
h = a = 6,
]
[
m = a + 2d = 6 + 2 \cdot 6 = 18,
]
[
k = a + 8d = 6 + 8 \cdot 6 = 54.
]
Таким образом, найденные числа:
[
h = 6, \quad m = 18, \quad k = 54.
]
Чтобы убедиться, что они действительно образуют ГП, проверим условие:
[
m^2 = h \cdot k \Rightarrow 18^2 = 6 \cdot 54,
]
[
324 = 324.
]
Это верно. Итак, три числа, которые удовлетворяют всем условиям задачи:
[
h = 6, \quad m = 18, \quad k = 54.
]
