Построй график функци y = y= { x 2 − 2 x − 1 , x ⩾ 0 x + 1 , x < 0 { x 2 −2x−1,x⩾0 x+1,x<0 ​ Определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие…

Чтобы решить поставленную задачу, сначала построим график функции \( y \). У нас есть кусочная функция:

\[ y = \begin{cases} x^2 - 2x - 1, & x \ge 0 \\ x + 1, & x < 0 \end{cases} \]

Шаг 1: Построение графика функции

1. Для \( x \ge 0 \):

   У нас есть парабола \( y = x^2 - 2x - 1 \).

   Чтобы её начертить, найдем важные характеристики:

   • Вершина. Вершина параболы находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \). Здесь \( a = 1 \), \( b = -2 \), тогда: \[ x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \] Найдем \( y \) при \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2 \]
   • Пересечения с осями:
     • \( y \)-пересечение (когда \( x = 0 \)): \[ y(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 1 = -1 \]
     • Находим \( x \)-пересечение (когда \( y = 0 \)): решим уравнение \( x^2 - 2x - 1 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 \] Таким образом \( x_1, x_2 = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \).

   Теперь мы знаем, что парабола имеет следующие важные точки:

   • Вершина: \( (1, -2) \)
   • Пересечения с осью \( y \): \( (0, -1) \)
   • Пересечения с осью \( x \): \( (1 - \sqrt{2}, 0) \) и \( (1 + \sqrt{2}, 0) \) (так как только \( x \ge 0 \), нас только интересует \( x = 1 + \sqrt{2} \)).

2. Для \( x < 0 \):

   Здесь у нас прямая \( y = x + 1 \). Это прямая с угловым коэффициентом 1 и пересечением с осью \( y \) в точке \( (0, 1) \).

Теперь графики обеих частей функции выглядят так:

• Для \( x \ge 0 \) — парабола, открытая вверх с вершиной в \( (1, -2) \).
• Для \( x < 0 \) — прямая, которая проходит через \( (0, 1) \) и имеет наклон 1.

Шаг 2: Поиск условий для линии \( y = m \)

Теперь найдем, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) пересекает график функции ровно в двух точках.

При \( m < -2 \):

• Прямая проходит ниже вершины параболы и не пересекает её.
• Прямая также не пересекает прямую \( y = x + 1 \) (так как она выше).

Следовательно, не будет пересечений.

При \( -2 < m < 1 \):

• Прямая пересекает параболу дважды (один раз до её вершины, другой — после).
• Прямая также пересекает прямую \( y = x + 1 \) ровно один раз (так как \( y = 0 \) — это ниже пересечения параболы с осью \( y \)).

Итак, в этом интервале будет ровно две пересечения.

При \( m = 1 \):

• Прямая касается прямой \( y = x + 1 \) в одной точке.

При \( m > 1 \):

• Прямая снова пересекает параболу дважды, но также будет пересекать прямую \( y = x + 1 \) дважды (так как она выше).

Таким образом, у нас есть два диапазона, где прямая пересекает график ровно дважды:

• от \( -2 \) до \( 1 \) (не включая 1)
• и все значения больше 1.

Ответ

Запишем это в формате: \(-2;1)(1;+\infty\)

Ответ: \(-21)(1;+\infty\)