Давайте разберем предложенные вами предложения и вставим пропущенные знаки препинания, а также подчеркнем обособленные обстоятельства и определим, чем они выражены.
Ночевала тучка золотая на груди утеса-великана, утром в путь она умчалась рано, по лазури весело играя.
- Обособленное обстоятельство: по лазури весело играя. Это обстоятельство выражено причастным оборотом.
Туманы, клубясь и извиваясь, сползали по морщинам соседних скал, будто чувствуя приближение дня.
- Обособленное обстоятельство: клубясь и извиваясь. Это обстоятельство выражено деепричастным оборотом.
Держа кувшин над головой, грузинка узкою тропой сходила к берегу.
- Обособленное обстоятельство: Держа кувшин над головой. Это обстоятельство выражено деепричастным оборотом.
Измучив доброго коня, на бранный пир к закату дня спешил жених нетерпеливый.
- Обособленное обстоятельство: Измучив доброго коня. Это обстоятельство выражено деепричастным оборотом.
Там липы в несколько обхватов справляют в сумраке аллей, вершины, друг от друга спрятав, свой двухсотлетний юбилей.
- Обособленное обстоятельство: друг от друга спрятав. Это обстоятельство выражено participial phrase.
Теперь все предложения оформлены с учетом необходимых знаков препинания, и обособленные обстоятельства подчеркиваются с определением формы их выражения.