В треугольнике АВС АВ=АС, ВМ – медиана, внешний угол при вершине В равен 124°. Найдите угол НАС.Откуда появился угол НАС?
Рассмотрим треугольник \( ABC \) с равными сторонами \( AB = AC \), что делает его равнобедренным. Медиана \( BM \) делит сторону \( AC \) пополам, то есть \( M \) — середина стороны \( AC \).
Дано, что внешний угол при вершине \( B \) равен \( 124^\circ \). Вспомним, что внешний угол треугольника равен сумме двух ненаселённых (внутренних) углов, не смежных с ним. То есть:
\[ \angle ABC + \angle ACB = 124^\circ \]
Так как наш треугольник равнобедренный, углы \( ABC \) и \( ACB \) равны. Обозначим их как \( x \):
\[ x + x = 124^\circ \]
Это упростится до:
\[ 2x = 124^\circ \]
Теперь разделим обе стороны на 2:
\[ x = 62^\circ \]
Таким образом, углы \( \angle ABC \) и \( \angle ACB \) равны \( 62^\circ \). Так как сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), находим угол \( \angle BAC \):
\[ \angle BAC = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (62^\circ + 62^\circ) = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ \]
Теперь, чтобы найти угол \( \angle NAS \) (это угол между медианой \( BM \) и высотой \( AH \), где \( H \) — проекция точки \( A \) на прямую \( BC \)), нам нужно рассмотреть треугольник \( ABM \) и его угол. Углы в \( \triangle ABM \) таковы:
- \( \angle BAM \) — это половина угла \( BAC \), т.к. медиана делит его на два равных угла: \[ \angle BAM = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ \]
Теперь, углы \( \angle ABM \) и \( \angle BMA \) в треугольнике \( ABM \):
- \( \angle ABM = 62^\circ \) (так как это равный угол \( ABC \))
- Мы знаем, что сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \):
\[ \angle BAM + \angle ABM + \angle BMA = 180^\circ \]
Теперь, подставляя известные значения:
\[ 28^\circ + 62^\circ + \angle BMA = 180^\circ \\ 90^\circ + \angle BMA = 180^\circ \\ \angle BMA = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \]
Таким образом, угол \( \angle NAS \) будет равен \( 28^\circ \), так как он равен углу \( BAM \).
Ответ: Угол \( \angle NAS = 28^\circ \). Угол \( NAS \) появляется в результате деления угла \( BAC \) пополам медианой \( BM \).
