В таблице дано распределение вероятностей случайной величины X X . Чему равны дисперсия D ( X ) D(X) и стандартное отклонение σ ( X ) σ(X) этой величины?
Чтобы найти дисперсию \( D(X) \) и стандартное отклонение \( \sigma(X) \) случайной величины \( X \), давайте следовать базовым шагам.
Шаги для решения:
Найдем математическое ожидание \( E(X) \):
Математическое ожидание \( E(X) \) рассчитывается как сумма произведений значений случайной величины на их вероятности:
\[ E(X) = \sum (x_i \cdot P(x_i)) \]
Подставим значения:
\[ E(X) = 0 \cdot 0.1 + 0.5 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.4 + 1.5 \cdot 0.2 = 0 + 0.15 + 0.4 + 0.3 = 0.85 \]
Рассчитаем дисперсию \( D(X) \):
Дисперсия \( D(X) \) рассчитывается как сумма квадратов отклонений каждого значения \( x_i \) от математического ожидания \( E(X) \), умноженная на их вероятности:
\[ D(X) = \sum ((x_i - E(X))^2 \cdot P(x_i)) \]
Подставим значения:
\[ D(X) = (0 - 0.85)^2 \cdot 0.1 + (0.5 - 0.85)^2 \cdot 0.3 + (1 - 0.85)^2 \cdot 0.4 + (1.5 - 0.85)^2 \cdot 0.2 \]
Вычислим каждое слагаемое:
\[ (0 - 0.85)^2 \cdot 0.1 = 0.7225 \cdot 0.1 = 0.07225 \] \[ (0.5 - 0.85)^2 \cdot 0.3 = 0.1225 \cdot 0.3 = 0.03675 \] \[ (1 - 0.85)^2 \cdot 0.4 = 0.0225 \cdot 0.4 = 0.009 \] \[ (1.5 - 0.85)^2 \cdot 0.2 = 0.4225 \cdot 0.2 = 0.0845 \]
Сложим все значения:
\[ D(X) = 0.07225 + 0.03675 + 0.009 + 0.0845 = 0.2025 \]
Найдем стандартное отклонение \( \sigma(X) \):
Стандартное отклонение \( \sigma(X) \) — это квадратный корень из дисперсии:
\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.2025} = 0.45 \]
Ответ:
- \( D(X) = 0.20 \) (округлено до сотых)
- \( \sigma(X) = 0.45 \)
