Для функции f(x)=x^3+2 найти первообразную, график которой проходит через точку М(2;15).
Давайте найдем первообразную функции \( f(x) = x^3 + 2 \) и укажем константу интегрирования таким образом, чтобы график функции проходил через точку \( M(2; 15) \).
Шаг 1: Найдем первообразную
Первообразная функции \( f(x) \) – это функция \( F(x) \), производная которой равна \( f(x) \). Для нахождения первообразной мы будем использовать правило интегрирования.
Формула для нахождения первообразной для \( x^n \) выглядит следующим образом:
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
Где \( C \) – это константа интегрирования.
Применяя это правило к нашей функции, мы получаем:
\[ \int (x^3 + 2) \, dx = \int x^3 \, dx + \int 2 \, dx \]
Теперь вычислим каждую часть:
- \( \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \)
- \( \int 2 \, dx = 2x \)
Подставим результаты в уравнение:
\[ F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x + C \]
Шаг 2: Найдем константу \( C \)
Теперь нужно подставить координаты точки \( M(2; 15) \) в уравнение \( F(x) \), чтобы найти значение \( C \).
Так как \( F(2) = 15 \), мы можем записать:
\[ F(2) = \frac{2^4}{4} + 2(2) + C = 15 \]
Теперь вычислим \( F(2) \):
- \( 2^4 = 16 \) => \( \frac{16}{4} = 4 \)
- \( 2(2) = 4 \)
Теперь составим уравнение:
\[ 4 + 4 + C = 15 \]
Это приведет нас к:
\[ 8 + C = 15 \]
Теперь найдем \( C \):
\[ C = 15 - 8 = 7 \]
Шаг 3: Запишем конечный результат
Теперь мы можем записать итоговую первообразную функцию:
\[ F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x + 7 \]
Таким образом, первообразная функции \( f(x) = x^3 + 2 \), которая проходит через точку \( M(2; 15) \), равна:
\[ F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x + 7 \]
