Давайте найдем первообразную функции ( f(x) = x^3 + 2 ) и укажем константу интегрирования таким образом, чтобы график функции проходил через точку ( M(2; 15) ).
Шаг 1: Найдем первообразную
Первообразная функции ( f(x) ) – это функция ( F(x) ), производная которой равна ( f(x) ). Для нахождения первообразной мы будем использовать правило интегрирования.
Формула для нахождения первообразной для ( x^n ) выглядит следующим образом:
[
\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
]
Где ( C ) – это константа интегрирования.
Применяя это правило к нашей функции, мы получаем:
[
\int (x^3 + 2) , dx = \int x^3 , dx + \int 2 , dx
]
Теперь вычислим каждую часть:
- ( \int x^3 , dx = \frac{x^4}{4} )
- ( \int 2 , dx = 2x )
Подставим результаты в уравнение:
[
F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x + C
]
Шаг 2: Найдем константу ( C )
Теперь нужно подставить координаты точки ( M(2; 15) ) в уравнение ( F(x) ), чтобы найти значение ( C ).
Так как ( F(2) = 15 ), мы можем записать:
[
F(2) = \frac{2^4}{4} + 2(2) + C = 15
]
Теперь вычислим ( F(2) ):
- ( 2^4 = 16 ) => ( \frac{16}{4} = 4 )
- ( 2(2) = 4 )
Теперь составим уравнение:
[
4 + 4 + C = 15
]
Это приведет нас к:
[
8 + C = 15
]
Теперь найдем ( C ):
[
C = 15 - 8 = 7
]
Шаг 3: Запишем конечный результат
Теперь мы можем записать итоговую первообразную функцию:
[
F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x + 7
]
Таким образом, первообразная функции ( f(x) = x^3 + 2 ), которая проходит через точку ( M(2; 15) ), равна:
[
F(x) = \frac{x^4}{4} + 2x + 7
]
