Решить задачи: 1) Найдите площадь четырёхугольника, если известны координаты его вершин A (4; 1), B (3; 5), C (-1; 4) и D (0; 0). 2) Даны точки А (3; 8) и М (7; -5). Найдите…

Давайте решим обе задачи по очереди.

Задача 1: Найдите площадь четырёхугольника, если известны координаты его вершин A (4; 1), B (3; 5), C (-1; 4) и D (0; 0).

Для нахождения площади многоугольника, заданного координатами его вершин, мы можем использовать формулу Гаусса (или формулу площади многоугольника по координатам):

\[ S = \frac{1}{2} \left | \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right |, \]

где \((x_{n+1}, y_{n+1})\) — это \((x_1, y_1)\) (то есть последняя точка соединяется с первой), а \(n\) — количество вершин многоугольника.

1. Запишем координаты вершин:

   • \(A (4, 1)\)
   • \(B (3, 5)\)
   • \(C (-1, 4)\)
   • \(D (0, 0)\)

2. Составим список координат с повторением первой точки в конце: \[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 4 & 1 \\ 3 & 5 \\ -1 & 4 \\ 0 & 0 \\ 4 & 1 \\ \hline \end{array} \]

3. Теперь подставим координаты в формулу: \[ S = \frac{1}{2} \left | (4 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + -1 \cdot 0 + 0 \cdot 1) - (1 \cdot 3 + 5 \cdot -1 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 4) \right | \]

   Расчитаем поэтапно:

   • Первая часть: \[ 4 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + -1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 20 + 12 + 0 + 0 = 32 \]
   • Вторая часть: \[ 1 \cdot 3 + 5 \cdot -1 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 4 = 3 - 5 + 0 + 0 = -2 \]
   • Теперь подставим значения в формулу: \[ S = \frac{1}{2} \left | 32 - (-2) \right | = \frac{1}{2} \left | 32 + 2 \right | = \frac{1}{2} \cdot 34 = 17 \]

Итак, площадь четырёхугольника ABCD равна 17.

Задача 2: Даны точки A (3; 8) и M (7; -5). Найдите координаты точки B, если точка M является серединой отрезка AB.

Если точка M является серединой отрезка AB, то ее координаты можно найти по формуле: \[ M_x = \frac{A_x + B_x}{2}, \quad M_y = \frac{A_y + B_y}{2}, \] где \((M_x, M_y)\) — координаты точки M, \((A_x, A_y)\) — координаты точки A, и \((B_x, B_y)\) — координаты точки B.

Подставим имеющиеся значения:

1. \(M_x = 7\) и \(M_y = -5\)
2. \(A_x = 3\) и \(A_y = 8\)

Теперь составим систему уравнений:

1. Для координаты x: \[ 7 = \frac{3 + B_x}{2}, \] Умножим обе стороны на 2: \[ 14 = 3 + B_x \implies B_x = 14 - 3 = 11. \]

2. Для координаты y: \[ -5 = \frac{8 + B_y}{2}, \] Умножим обе стороны на 2: \[ -10 = 8 + B_y \implies B_y = -10 - 8 = -18. \]

Таким образом, координаты точки B равны (11; -18).

Итак, в ответах мы получили:

1. Площадь четырёхугольника ABCD равна 17.
2. Координаты точки B равны (11; -18).