Давайте решим обе задачи по очереди.
Задача 1: Найдите площадь четырёхугольника, если известны координаты его вершин A (4; 1), B (3; 5), C (-1; 4) и D (0; 0).
Для нахождения площади многоугольника, заданного координатами его вершин, мы можем использовать формулу Гаусса (или формулу площади многоугольника по координатам):
[
S = \frac{1}{2} \left | \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right |,
]
где ((x_{n+1}, y_{n+1})) — это ((x_1, y_1)) (то есть последняя точка соединяется с первой), а (n) — количество вершин многоугольника.
Запишем координаты вершин:
- (A (4, 1))
- (B (3, 5))
- (C (-1, 4))
- (D (0, 0))
Составим список координат с повторением первой точки в конце:
[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \
\hline
4 & 1 \
3 & 5 \
-1 & 4 \
0 & 0 \
4 & 1 \
\hline
\end{array}
]
Теперь подставим координаты в формулу:
[
S = \frac{1}{2} \left | (4 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + -1 \cdot 0 + 0 \cdot 1) - (1 \cdot 3 + 5 \cdot -1 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 4) \right |
]
Расчитаем поэтапно:
- Первая часть:
[
4 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + -1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 20 + 12 + 0 + 0 = 32
]
- Вторая часть:
[
1 \cdot 3 + 5 \cdot -1 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 4 = 3 - 5 + 0 + 0 = -2
]
- Теперь подставим значения в формулу:
[
S = \frac{1}{2} \left | 32 - (-2) \right | = \frac{1}{2} \left | 32 + 2 \right | = \frac{1}{2} \cdot 34 = 17
]
Итак, площадь четырёхугольника ABCD равна 17.
Задача 2: Даны точки A (3; 8) и M (7; -5). Найдите координаты точки B, если точка M является серединой отрезка AB.
Если точка M является серединой отрезка AB, то ее координаты можно найти по формуле:
[
M_x = \frac{A_x + B_x}{2}, \quad M_y = \frac{A_y + B_y}{2},
]
где ((M_x, M_y)) — координаты точки M, ((A_x, A_y)) — координаты точки A, и ((B_x, B_y)) — координаты точки B.
Подставим имеющиеся значения:
- (M_x = 7) и (M_y = -5)
- (A_x = 3) и (A_y = 8)
Теперь составим систему уравнений:
Для координаты x:
[
7 = \frac{3 + B_x}{2},
]
Умножим обе стороны на 2:
[
14 = 3 + B_x \implies B_x = 14 - 3 = 11.
]
Для координаты y:
[
-5 = \frac{8 + B_y}{2},
]
Умножим обе стороны на 2:
[
-10 = 8 + B_y \implies B_y = -10 - 8 = -18.
]
Таким образом, координаты точки B равны (11; -18).
Итак, в ответах мы получили:
- Площадь четырёхугольника ABCD равна 17.
- Координаты точки B равны (11; -18).
