Найдите производные функции log3 2x

Для нахождения производной функции \( \log_3(2x) \) воспользуемся правилами дифференцирования. Давайте разберем это шаг за шагом. ### Шаг 1: Преобразование логарифмической функции Прежде всего, напомним, что логарифм с любым основанием можно преобразовать к логарифму с основанием \( e \) (натуральный логарифм) с помощью следующей формулы: \[ \log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)} \] В нашем случае мы имеем: \[ \log_3(2x) = \frac{\ln(2x)}{\ln(3)} \] ### Шаг 2: Применение правила дифференцирования Теперь мы можем найти производную функции: \[ y = \log_3(2x) = \frac{\ln(2x)}{\ln(3)} \] Для нахождения производной воспользуемся тем, что \( \ln(3) \) — это константа, и применим правило производной для деления: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln(3)} \cdot \frac{d}{dx}(\ln(2x)) \] ### Шаг 3: Найдем производную \( \ln(2x) \) Теперь найдем производную \( \ln(2x) \). Используем правило производной для составной функции: \[ \frac{d}{dx}(\ln(2x)) = \frac{1}{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x} \] ### Шаг 4: Подставим найденную производную Теперь подставим найденную производную обратно в выражение для \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln(3)} \cdot \frac{1}{x} \] ### Шаг 5: Записываем окончательный ответ Таким образом, производная функции \( \log_3(2x) \) равна: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \cdot \ln(3)} \] ### Итоги Вы нашли производную функции \( \log_3(2x) \), и она равна \( \frac{1}{x \cdot \ln(3)} \). Это показывает, как логарифмическая функция изменяется в зависимости от изменения переменной \( x \).