Чтобы решить задачу о вероятности, давайте разберемся шаг за шагом.
Условие:
Команда "Сокол" играет четыре матча, и нужно найти вероятность того, что они начнут игру с мячом ровно три раза.
Анализ задачи:
Вероятность события:
- Вероятность, что "Сокол" начнет игру в одном матче (орел или решка), равна ( p = \frac{1}{2} ).
Общее количество матчей:
- Это число испытаний — 4 (каждый матч соответствует одному испытанию).
Ровно три раза:
- Это количество успешных исходов — 3.
Вероятность на основе биномиального распределения:
Биномиальное распределение используется для нахождения вероятности получения определенного числа успехов (в данном случае начинать с мячом) в серии независимых испытаний.
Формула биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где
- ( P(X = k) ) — вероятность ( k ) успешных исходов,
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который равен числу комбинаций ( n ) по ( k ): ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ),
- ( n ) — общее число испытаний,
- ( k ) — число успешных исходов,
- ( p ) — вероятность успеха в каждом испытании.
Подставим значения:
- ( n = 4 ) (число матчей),
- ( k = 3 ) (команда начнет с мячом 3 раза),
- ( p = \frac{1}{2} ).
[
C(4, 3) = \frac{4!}{3! \cdot (4-3)!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = 4
]
[
P(X = 3) = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25
]
Ответ:
Вероятность того, что команда "Сокол" начнет игру с мячом ровно три раза, равна ( 0.25 ) или 25%.
