Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, воспользуемся свойствами данной прогрессии.
Напомним, что в геометрической прогрессии каждый следующий элемент можно получить, умножив предыдущий на постоянное число, называемое знаменателем (обозначим его ( q )).
Пусть ( x_n ) – это n-й член прогрессии. Тогда, если известны некоторые члены прогрессии, можно написать:
Для 5-го члена прогрессии:
[
x_5 = x_1 \cdot q^{4} = -\frac{4}{9}
]
Для 7-го члена прогрессии:
[
x_7 = x_1 \cdot q^{6} = -4
]
Теперь у нас есть две уравнения:
- ( x_1 \cdot q^{4} = -\frac{4}{9} ) (1)
- ( x_1 \cdot q^{6} = -4 ) (2)
Теперь мы можем выразить ( x_1 ) из первого уравнения:
[
x_1 = -\frac{4}{9q^{4}}
]
Подставим это выражение для ( x_1 ) во второе уравнение:
[
-\frac{4}{9q^{4}} \cdot q^{6} = -4
]
Упростим это:
Умножаем:
[
-\frac{4q^{6}}{9q^{4}} = -4
]
Убрав знак минус и упростив дробь:
[
\frac{4q^{2}}{9} = 4
]
Умножим обе стороны на 9:
[
4q^{2} = 36
]
Разделим обе стороны на 4:
[
q^{2} = 9
]
Найдем ( q ) путем взятия квадратного корня:
[
q = 3 \quad \text{или} \quad q = -3
]
Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии может быть равен 3 или -3. Оба значения допустимы, так как прогрессия может быть как возрастающей (при ( q = 3 )), так и убывающей (при ( q = -3 )).
