Найди косинус угла между диагональю A1C прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и плоскостью грани A1D1D , если AB=5 √7 BC=5 AA1=10√2 ​ .

Для решения этой задачи необходимо найти косинус угла между диагональю A1C параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и плоскостью грани A1D1D. Выполним шаги последовательно.

Шаг 1: Определим координаты вершин параллелепипеда.

1. Поместим точку A в начало координат:
   • A(0, 0, 0)
2. Тогда, используя данные:
   • B(5√7, 0, 0) – отрезок AB имеет длину 5√7.
   • D(0, 5, 0) – отрезок AD имеет длину 5.
   • C(5√7, 5, 0) – это следующее по x и y после B и D.
   • A1(0, 0, 10√2) – точка A1 над A.
   • B1(5√7, 0, 10√2) – точка B1 над B.
   • C1(5√7, 5, 10√2) – точка C1 над C.
   • D1(0, 5, 10√2) – точка D1 над D.

Теперь у нас есть координаты всех вершин:

• A(0, 0, 0)
• B(5√7, 0, 0)
• C(5√7, 5, 0)
• D(0, 5, 0)
• A1(0, 0, 10√2)
• B1(5√7, 0, 10√2)
• C1(5√7, 5, 10√2)
• D1(0, 5, 10√2)

Шаг 2: Находим координаты диагонали A1C

Координаты A1(0, 0, 10√2) и C(5√7, 5, 0). Таким образом, вектор A1C: \[ \vec{A1C} = C - A1 = (5\sqrt{7}, 5, 0) - (0, 0, 10\sqrt{2}) = (5\sqrt{7}, 5, -10\sqrt{2}). \]

Шаг 3: Находим нормальный вектор к плоскости A1D1D

Плоскость A1D1D образована тремя точками:

• A1(0, 0, 10√2)
• D1(0, 5, 10√2)
• D(0, 5, 0)

Можно взять два вектора, образованных этими точками:

1. \(\vec{A1D1} = D1 - A1 = (0, 5, 10\sqrt{2}) - (0, 0, 10\sqrt{2}) = (0, 5, 0)\)
2. \(\vec{A1D} = D - A1 = (0, 5, 0) - (0, 0, 10\sqrt{2}) = (0, 5, -10\sqrt{2})\)

Для нахождения нормального вектора \( \vec{N} \) к плоскости A1D1D воспользуемся векторным произведением: \[ \vec{N} = \vec{A1D1} \times \vec{A1D}. \]

Вычислим это произведение: \[ \vec{N} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 5 & -10\sqrt{2} \end{vmatrix} = \hat{i}(5(-10\sqrt{2}) - 0) - \hat{j}(0 - 0) + \hat{k}(0 - 0) = (-50\sqrt{2}, 0, 0). \]

Шаг 4: Находим угол между векторами A1C и нормалью N

Используем формулу для косинуса угла между двумя векторами: \[ \cos \theta = \frac{\vec{A1C} \cdot \vec{N}}{|\vec{A1C}| |\vec{N}|}. \]

4.1: Находим скалярное произведение

\[ \vec{A1C} \cdot \vec{N} = (5\sqrt{7}, 5, -10\sqrt{2}) \cdot (-50\sqrt{2}, 0, 0) = 5\sqrt{7} \cdot (-50\sqrt{2}) + 5 \cdot 0 + (-10\sqrt{2}) \cdot 0 = -250\sqrt{14} . \]

4.2: Находим длины векторов

Длина вектора \( \vec{A1C} \): \[ |\vec{A1C}| = \sqrt{(5\sqrt{7})^2 + 5^2 + (-10\sqrt{2})^2} = \sqrt{175 + 25 + 200} = \sqrt{400} = 20. \]

Длина вектора \( \vec{N} \): \[ |\vec{N}| = \sqrt{(-50\sqrt{2})^2 + 0 + 0} = 50\sqrt{2}. \]

4.3: Подставляем в формулу косинуса угла

\[ \cos \theta = \frac{-250\sqrt{14}}{20 \cdot 50\sqrt{2}} = \frac{-250\sqrt{14}}{1000\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{14}}{4\sqrt{2}}. \]

Шаг 5: Упрощаем

Это значение можно упростить: \[ \cos \theta = -\frac{\sqrt{14}}{4\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{14}}{4\cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{7}}{8}. \]

Таким образом, косинус угла между диагональю A1C и плоскостью грани A1D1D равен: \[ \cos \theta = -\frac{\sqrt{7}}{8}. \]