На рисунке изображена правильная четырёхугольная пирамида. Сторона её основания равна 4корень из 2 , а боковое ребро — корень 97 . Чему равен объём данной пирамиды
Чтобы найти объем правильной четырёхугольной пирамиды, нужно воспользоваться формулой:
\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} h \]
где \( V \) — объём пирамиды, \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды.
Шаг 1: Найти площадь основания
Поскольку основание пирамиды — это квадрат (так как это правильная четырёхугольная пирамида), площадь основания \( S_{осн} \) рассчитывается по формуле:
\[ S_{осн} = a^2 \]
где \( a \) — длина стороны основания. В данной задаче длина стороны равна \( 4\sqrt{2} \).
Таким образом, подставим значение в формулу:
\[ S_{осн} = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32 \]
Шаг 2: Найти высоту пирамиды
Для нахождения высоты нужно использовать свойства правильной четырёхугольной пирамиды. В такого рода пирамиде высота, боковое ребро и половина стороны основания образуют прямой треугольник.
Для нахождения высоты \( h \), нам нужно знать длину половины стороны основания и боковое ребро.
Половина стороны основания:
\[ \frac{a}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \]
Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике, где:
- одна катета — \( h \) (высота),
- вторая катета — \( 2\sqrt{2} \) (половина стороны),
- гипотенуза — боковое ребро \( \sqrt{97} \),
мы можем записать:
\[ h^2 + (2\sqrt{2})^2 = (\sqrt{97})^2 \]
Решим уравнение:
\[ h^2 + 8 = 97 \] \[ h^2 = 97 - 8 = 89 \] \[ h = \sqrt{89} \]
Шаг 3: Подставить в формулу объёма
Теперь подставим значение площади основания \( S_{осн} \) и высоты \( h \) в формулу объёма:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot \sqrt{89} \]
В итоге мы получаем:
\[ V = \frac{32 \sqrt{89}}{3} \]
Таким образом, объём данной правильной четырёхугольной пирамиды равен \(\frac{32 \sqrt{89}}{3}\).
