Чтобы найти объем правильной четырёхугольной пирамиды, нужно воспользоваться формулой:
[
V = \frac{1}{3} S_{осн} h
]
где ( V ) — объём пирамиды, ( S_{осн} ) — площадь основания, а ( h ) — высота пирамиды.
Шаг 1: Найти площадь основания
Поскольку основание пирамиды — это квадрат (так как это правильная четырёхугольная пирамида), площадь основания ( S_{осн} ) рассчитывается по формуле:
[
S_{осн} = a^2
]
где ( a ) — длина стороны основания. В данной задаче длина стороны равна ( 4\sqrt{2} ).
Таким образом, подставим значение в формулу:
[
S_{осн} = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32
]
Шаг 2: Найти высоту пирамиды
Для нахождения высоты нужно использовать свойства правильной четырёхугольной пирамиды. В такого рода пирамиде высота, боковое ребро и половина стороны основания образуют прямой треугольник.
Для нахождения высоты ( h ), нам нужно знать длину половины стороны основания и боковое ребро.
Половина стороны основания:
[
\frac{a}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}
]
Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике, где:
- одна катета — ( h ) (высота),
- вторая катета — ( 2\sqrt{2} ) (половина стороны),
- гипотенуза — боковое ребро ( \sqrt{97} ),
мы можем записать:
[
h^2 + (2\sqrt{2})^2 = (\sqrt{97})^2
]
Решим уравнение:
[
h^2 + 8 = 97
]
[
h^2 = 97 - 8 = 89
]
[
h = \sqrt{89}
]
Шаг 3: Подставить в формулу объёма
Теперь подставим значение площади основания ( S_{осн} ) и высоты ( h ) в формулу объёма:
[
V = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot \sqrt{89}
]
В итоге мы получаем:
[
V = \frac{32 \sqrt{89}}{3}
]
Таким образом, объём данной правильной четырёхугольной пирамиды равен (\frac{32 \sqrt{89}}{3}).
