Рассмотрим задачу по определению сопротивлений двух проводников, соединенных последовательно и параллельно.
Имеем следующие данные:
- Общее сопротивление двух проводников, соединённых последовательно, ( R_{\text{посл}} = 16 , \Omega ).
- Общее сопротивление двух проводников, соединённых параллельно, ( R_{\text{пар}} = 3 , \Omega ).
Обозначим сопротивления проводников ( R_1 ) и ( R_2 ).
1. Определение сопротивлений при последовательном соединении
Для двух проводников, соединённых последовательно, общее сопротивление определяется по формуле:
[
R_{\text{посл}} = R_1 + R_2
]
Подставим известное значение:
[
16 = R_1 + R_2 \quad \text{(1)}
]
2. Определение сопротивлений при параллельном соединении
Для двух проводников, соединённых параллельно, общее сопротивление определяется по формуле:
[
\frac{1}{R_{\text{пар}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
]
Подставим известное значение:
[
\frac{1}{3} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
]
Умножим обе стороны уравнения на ( R_1 \cdot R_2 \cdot 3 ):
[
R_1 \cdot R_2 = 3(R_1 + R_2) \quad \text{(2)}
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Подставим значение из (1) в (2).
3. Подстановка и решение системы уравнений
Из первого уравнения выражаем ( R_2 ):
[
R_2 = 16 - R_1
]
Подставим это значение во второе уравнение:
[
R_1(16 - R_1) = 3(16)
]
Раскроем скобки:
[
16R_1 - R_1^2 = 48
]
Переписываем уравнение:
[
R_1^2 - 16R_1 + 48 = 0
]
4. Решение квадратного уравнения
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
[
R_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Здесь ( a = 1 ), ( b = -16 ), ( c = 48 ):
[
R_1 = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}
]
[
R_1 = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 192}}{2}
]
[
R_1 = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2}
]
[
R_1 = \frac{16 \pm 8}{2}
]
Теперь находим два возможных значения для ( R_1 ):
- ( R_1 = \frac{24}{2} = 12 )
- ( R_1 = \frac{8}{2} = 4 )
5. Нахождение ( R_2 )
Теперь, используя полученные значения ( R_1 ), найдем соответствующие ( R_2 ):
- Если ( R_1 = 12 ), то ( R_2 = 16 - 12 = 4 ).
- Если ( R_1 = 4 ), то ( R_2 = 16 - 4 = 12 ).
6. Ответ
Таким образом:
- Большее сопротивление ( R_1 ): ( R_1 = 12 , \Omega ).
- Меньшее сопротивление ( R_2 ): ( R_2 = 4 , \Omega ).
В конечном итоге, ответ на задачу:
- Большее из сопротивлений ( R_1 = 12 , \Omega )
- Меньшее из сопротивлений ( R_2 = 4 , \Omega )
