X/x+15=1/x+3

Для решения уравнения \( \frac{x}{x + 15} = \frac{1}{x + 3} \) давайте разберём его пошагово. ### Шаг 1: Найдем общий знаменатель Две дроби на обеих сторонах уравнения требуют, чтобы мы могли легко упростить уравнение. Общий знаменатель для дробей \( (x + 15) \) и \( (x + 3) \) будет равен их произведению: \[ (x + 15)(x + 3) \] ### Шаг 2: Умножим обе стороны на общий знаменатель Теперь умножим обе стороны уравнения на этот общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей: \[ (x + 15)(x + 3) \cdot \frac{x}{x + 15} = (x + 15)(x + 3) \cdot \frac{1}{x + 3} \] ### Шаг 3: Упростим уравнение Сделаем это: \[ x \cdot (x + 3) = (x + 15) \] ### Шаг 4: Раскроем скобки Теперь раскроем скобки: \[ x^2 + 3x = x + 15 \] ### Шаг 5: Переносим все в одну сторону Теперь перенесем все члены в одну сторону, чтобы у нас осталось уравнение равное нулю: \[ x^2 + 3x - x - 15 = 0 \] Упрощаем уравнение: \[ x^2 + 2x - 15 = 0 \] ### Шаг 6: Решаем квадратное уравнение Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 2x - 15 = 0 \). Мы можем использовать формулу дискриминанта: 1. Найдём дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) \] \[ D = 4 + 60 = 64 \] 2. Найдём корни уравнения по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \): \[ x = \frac{-2 \pm 8}{2} \] ### Шаг 7: Вычисляем корни Теперь находим два возможных значения для \( x \): 1. \( x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) 2. \( x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \) ### Шаг 8: Проверка корней Теперь важно проверить, что полученные корни не делают знаменатели равными нулю. Для \( x = 3 \): - \( x + 15 = 3 + 15 = 18 \) (не равно нулю) - \( x + 3 = 3 + 3 = 6 \) (не равно нулю) Для \( x = -5 \): - \( x + 15 = -5 + 15 = 10 \) (не равно нулю) - \( x + 3 = -5 + 3 = -2 \) (не равно нулю) ### Заключение Таким образом, оба корня \( x = 3 \) и \( x = -5 \) являются действительными решениями уравнения. Ответ: \( x = 3 \) и \( x = -5 \).