x/x+15=1/x+3
Для решения уравнения \( \frac{x}{x + 15} = \frac{1}{x + 3} \) давайте разберём его пошагово.
Шаг 1: Найдем общий знаменатель
Две дроби на обеих сторонах уравнения требуют, чтобы мы могли легко упростить уравнение. Общий знаменатель для дробей \( (x + 15) \) и \( (x + 3) \) будет равен их произведению:
\[ (x + 15)(x + 3) \]
Шаг 2: Умножим обе стороны на общий знаменатель
Теперь умножим обе стороны уравнения на этот общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
\[ (x + 15)(x + 3) \cdot \frac{x}{x + 15} = (x + 15)(x + 3) \cdot \frac{1}{x + 3} \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Сделаем это:
\[ x \cdot (x + 3) = (x + 15) \]
Шаг 4: Раскроем скобки
Теперь раскроем скобки:
\[ x^2 + 3x = x + 15 \]
Шаг 5: Переносим все в одну сторону
Теперь перенесем все члены в одну сторону, чтобы у нас осталось уравнение равное нулю:
\[ x^2 + 3x - x - 15 = 0 \]
Упрощаем уравнение:
\[ x^2 + 2x - 15 = 0 \]
Шаг 6: Решаем квадратное уравнение
Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 2x - 15 = 0 \). Мы можем использовать формулу дискриминанта:
- Найдём дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) \] \[ D = 4 + 60 = 64 \]
- Найдём корни уравнения по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):
\[ x = \frac{-2 \pm 8}{2} \]
Шаг 7: Вычисляем корни
Теперь находим два возможных значения для \( x \):
- \( x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
- \( x_2 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)
Шаг 8: Проверка корней
Теперь важно проверить, что полученные корни не делают знаменатели равными нулю.
Для \( x = 3 \):
- \( x + 15 = 3 + 15 = 18 \) (не равно нулю)
- \( x + 3 = 3 + 3 = 6 \) (не равно нулю)
Для \( x = -5 \):
- \( x + 15 = -5 + 15 = 10 \) (не равно нулю)
- \( x + 3 = -5 + 3 = -2 \) (не равно нулю)
Заключение
Таким образом, оба корня \( x = 3 \) и \( x = -5 \) являются действительными решениями уравнения.
Ответ: \( x = 3 \) и \( x = -5 \).
