Определи количество точек пересечения параболы � = � 2 + 5 � − 7 y=x 2 +5x−7 и прямой 4 � − 11 � = 0 4x−11y=0 .
Чтобы определить количество точек пересечения параболы и прямой, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения параболы и уравнения прямой.
Уравнения:
- Парабола: \( y = x^2 + 5x - 7 \)
- Прямая: \( 4x - 11y = 0 \)
Перепишем уравнение прямой: Упростим уравнение прямой для нахождения \( y \): \[ 4x - 11y = 0 \implies 11y = 4x \implies y = \frac{4}{11}x \]
Подставим уравнение прямой в уравнение параболы: Теперь мы можем подставить выражение для \( y \) из уравнения прямой в уравнение параболы: \[ \frac{4}{11}x = x^2 + 5x - 7 \]
Умножим все уравнение на 11 (чтобы избавиться от дробей): \[ 4x = 11x^2 + 55x - 77 \] Приведем все к одной стороне уравнения: \[ 11x^2 + 55x - 77 - 4x = 0 \] Упростим: \[ 11x^2 + 51x - 77 = 0 \]
Решим квадратное уравнение: Теперь у нас есть квадратное уравнение: \[ 11x^2 + 51x - 77 = 0 \] Мы можем использовать формулу дискримината для нахождения количества решений: \[ D = b^2 - 4ac = 51^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-77) \] Вычислим дискриминант: \[ D = 2601 + 3408 = 6019 \]
Определим количество решений: Дискриминант \( D \) положителен (\( D > 0 \)), следовательно, у уравнения две различных вещественных корня. Это означает, что парабола пересекает прямую в двух точках.
Ответ: Парабола \( y = x^2 + 5x - 7 \) и прямая \( 4x - 11y = 0 \) пересекаются в двух точках.
