√x²-5x+4 < 2-x

Давайте решим неравенство \( \sqrt{x^2 - 5x + 4} < 2 - x \) пошагово. ### Шаг 1: Изолируем квадратный корень Для начала, чтобы избежать проблем с негативными значениями при извлечении корня, мы поместим корень в отдельную часть неравенства: \[ \sqrt{x^2 - 5x + 4} < 2 - x \] ### Шаг 2: Условия для неравенства Прежде чем продолжить, важно определить, когда \( 2 - x > 0 \), так как квадратный корень всегда неотрицателен. Решим неравенство: \[ 2 - x > 0 \implies x < 2 \] Теперь мы знаем, что \( x \) должно быть меньше 2. ### Шаг 3: Возводим обе части в квадрат Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны неравенства в квадрат. Однако помните, что одно из условий — \( x < 2 \). После возведения в квадрат неравенство может измениться, если обе стороны отрицательны, но в нашем случае мы знаем, что \( 2 - x > 0 \): \[ x^2 - 5x + 4 < (2 - x)^2 \] ### Шаг 4: Раскрываем скобки Распишем правую часть: \[ x^2 - 5x + 4 < 4 - 4x + x^2 \] ### Шаг 5: Упрощаем неравенство Теперь вычтем \( x^2 \) из обеих частей: \[ -5x + 4 < 4 - 4x \] Затем приводим подобные члены: \[ -5x + 4x < 4 - 4 \] Это дает нам: \[ -x < 0 \] ### Шаг 6: Переписываем неравенство Умножив обе стороны на \(-1\) (не забываем поменять знак неравенства), получаем: \[ x > 0 \] ### Шаг 7: Объединяем полученные условия Мы нашли два условия: 1. \( x < 2 \) 2. \( x > 0 \) Теперь объединим их: \[ 0 < x < 2 \] ### Заключение Таким образом, решение неравенства \( \sqrt{x^2 - 5x + 4} < 2 - x \) — это промежуток: \[ (0, 2) \] Это значит, что все числа \( x \) из интервала от 0 до 2 (не включая 0 и 2) удовлетворяют данному неравенству.