√x²-5x+4 < 2-x

Давайте решим неравенство \( \sqrt{x^2 - 5x + 4} < 2 - x \) пошагово.

Шаг 1: Изолируем квадратный корень

Для начала, чтобы избежать проблем с негативными значениями при извлечении корня, мы поместим корень в отдельную часть неравенства:

\[ \sqrt{x^2 - 5x + 4} < 2 - x \]

Шаг 2: Условия для неравенства

Прежде чем продолжить, важно определить, когда \( 2 - x > 0 \), так как квадратный корень всегда неотрицателен.

Решим неравенство:

\[ 2 - x > 0 \implies x < 2 \]

Теперь мы знаем, что \( x \) должно быть меньше 2.

Шаг 3: Возводим обе части в квадрат

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны неравенства в квадрат. Однако помните, что одно из условий — \( x < 2 \). После возведения в квадрат неравенство может измениться, если обе стороны отрицательны, но в нашем случае мы знаем, что \( 2 - x > 0 \):

\[ x^2 - 5x + 4 < (2 - x)^2 \]

Шаг 4: Раскрываем скобки

Распишем правую часть:

\[ x^2 - 5x + 4 < 4 - 4x + x^2 \]

Шаг 5: Упрощаем неравенство

Теперь вычтем \( x^2 \) из обеих частей:

\[ -5x + 4 < 4 - 4x \]

Затем приводим подобные члены:

\[ -5x + 4x < 4 - 4 \]

Это дает нам:

\[ -x < 0 \]

Шаг 6: Переписываем неравенство

Умножив обе стороны на \(-1\) (не забываем поменять знак неравенства), получаем:

\[ x > 0 \]

Шаг 7: Объединяем полученные условия

Мы нашли два условия:

1. \( x < 2 \)
2. \( x > 0 \)

Теперь объединим их:

\[ 0 < x < 2 \]

Заключение

Таким образом, решение неравенства \( \sqrt{x^2 - 5x + 4} < 2 - x \) — это промежуток:

\[ (0, 2) \]

Это значит, что все числа \( x \) из интервала от 0 до 2 (не включая 0 и 2) удовлетворяют данному неравенству.