Для решения задачи начнём с формулы n-го члена геометрической прогрессии, которая имеет вид:
[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} ]
где:
- ( b_n ) — n-й член прогрессии,
- ( b_1 ) — первый член прогрессии,
- ( q ) — общее отношение (коэффициент),
- ( n ) — номер члена прогрессии.
В данной задаче нам известно:
- ( b_4 = 18 ) (четвёртый член прогрессии),
- ( q = \sqrt{3} ).
Теперь можем подставить известные значения в формулу для четвёртого члена:
[ b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} ]
Это можно записать как:
[ 18 = b_1 \cdot (\sqrt{3})^{3} ]
Теперь вычислим ( (\sqrt{3})^3 ):
[ (\sqrt{3})^{3} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} ]
Теперь подставим это значение в уравнение:
[ 18 = b_1 \cdot 3\sqrt{3} ]
Теперь выразим ( b_1 ):
[ b_1 = \frac{18}{3\sqrt{3}} ]
Упростим дробь:
[ b_1 = \frac{6}{\sqrt{3}} ]
Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на ( \sqrt{3} ):
[ b_1 = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} ]
Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен:
[ b_1 = 2\sqrt{3} ]
Если подвести итог:
- Мы использовали формулу для нахождения n-го члена геометрической прогрессии.
- Подставили известные значения и упростили выражение, чтобы найти первый член прогрессии.
Ответ: ( b_1 = 2\sqrt{3} )
