Чтобы определить, в каких предложениях отсутствие запятой между основами объясняется правилом о том, что при соединении двух однородных придаточных предложений союзом "и" запятая не ставится, рассмотрим каждое из предложений отдельно.
Когда вечер закончился и мы спустились вниз, к папе вдруг подбежал запыхавшийся мужчина в белом халате и что-то шепнул на ухо.
- Здесь два придаточных: "когда вечер закончился" и "мы спустились вниз". Они соединены союзом "и", поэтому запятой перед "и" нет. Это подходит под правило.
Единственно возможная цель этого высказывания состояла в том, чтоб он признался в недостатках, которые я обличал в нём.
- В этом предложении есть одно придаточное предложение "чтоб он признался в недостатках". Здесь нет соединения двух придаточных с союзом "и". Это не подходит под правило.
Вадимка сидел на берегу и смотрел, как старый тополь роняет белоснежные, кружащиеся в застывшем воздухе пушинки и как они белыми корабликами плывут по реке.
- Здесь два придаточных: "как старый тополь роняет белоснежные пушинки" и "как они белыми корабликами плывут по реке". Они соединены союзом "и". Хотя перед первым "и" запятая вставлена, но в этом случае запятая нужна для разделения двух однородных частей в сложносочиненном предложении. Это не подходит под правило.
Слёзы подступили к горлу, стали душить, но он сдержался – не заплакал.
- В этом предложении также нет двух однородных придаточных предложений. Здесь присутствует сложносочинённое предложение, но запятая не ставится перед союзами "но" в данном случае. Это не подходит под правило.
А тут все врачи, медсёстры и нянечки так улыбались, словно им самим за что-то говорили спасибо.
- В этом предложении нет соединения двух однородных придаточных предложений. Здесь используется сравнение. Это не подходит под правило.
В конце третьего класса, как раз по весне, когда вскрылась река и с шорохом и гулом уплыли вниз по воде рыхлые серые льдины, наша учительница Анна Николаевна привела в класс нового ученика в кителе с морскими пуговицами.
- Здесь есть два придаточных: "когда вскрылась река" и "как раз по весне". Они не соединены союзом "и", а "и" употребляется для однородных членов предложения "с шорохом и гулом". Запятая здесь не требуется. Однако это не пример, связанный с правилом о придаточных. Это не подходит под правило.
Был он развязный, невоспитанный, и у него даже, казалось, глазки хищно щурились, когда он смотрел на Витьку.
- В этом предложении тоже нет двух однородных придаточных. Придаточное "когда он смотрел на Витьку" не соединено с другим придаточным союзом "и". Это не подходит под правило.
Результат: Верным вариантом, который подходит под указанное правило, является первое предложение.