Укажите верные утверждения: А) при умножении матрицы на обратную к ней получаем единичную матрицу В) произведение неквадратных матриц не может быть квадратной матрицей С)…
Укажите верные утверждения: А) при умножении матрицы на обратную к ней получаем единичную матрицу В) произведение неквадратных матриц не может быть квадратной матрицей С) квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется нулевой D) ранг матрицы не изменится при ее транспонировании Е) матрицы называются равными, если равны соответствующие элементы двух матриц Выберите один ответ: ADE ABCЕ BDE АBCD ABD
Давайте разберем утверждения по очереди и выясним, какие из них верны.
Утверждение А
"При умножении матрицы на обратную к ней получаем единичную матрицу."
Это утверждение верно. Если у нас есть квадратная матрица \( A \) и её обратная матрица \( A^{-1} \), то действительно выполняется равенство:
\[ A \cdot A^{-1} = I \]
где \( I \) — единичная матрица.
Утверждение B
"Произведение неквадратных матриц не может быть квадратной матрицей."
Это утверждение также верно. Если у нас есть матрицы \( A \) и \( B \), где \( A \) имеет размеры \( m \times n \) (неквадратная) и \( B \) имеет размеры \( p \times q \), то произведение \( A \cdot B \) возможно только в том случае, если \( n = p \). Итоговая матрица будет иметь размерность \( m \times q \). Если обе матрицы неквадратные, то не может быть результата квадратной размерности.
Утверждение C
"Квадратная матрица, определитель которой равен нулю, называется нулевой."
Это утверждение неверно. Квадратная матрица с нулевым определителем является вырожденной, но не обязательно должна быть нулевой (матрица, в которой все элементы равны нулю). Например, матрица
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 4
\end{pmatrix}
\]
имеет определитель 0, но не является нулевой матрицей.
Утверждение D
"Ранг матрицы не изменится при её транспонировании."
Это утверждение верно. Ранг матрицы определяется максимальным числом линейно независимых строк или столбцов. При транспонировании строки становятся столбцами и наоборот, и, следовательно, ранг сохраняется.
Утверждение Е
"Матрицы называются равными, если равны соответствующие элементы двух матриц."
Это утверждение верно. Две матрицы \( A \) и \( B \) равны, если для всех соответствующих элементов \( A_{ij} = B_{ij} \).
Вывод
Теперь соберем вместе все верные утверждения:
- Утверждения А (верно)
- Утверждения B (верно)
- Утверждения D (верно)
- Утверждения Е (верно)
- Утверждение C (неверно)
Таким образом, верные утверждения — это A, B, D, E.
Ответ: ADE.
