-6ctg60°⋅sin120°−5cos120°
Давайте разберем данное выражение шаг за шагом. Нам нужно решить:
\[ -6 \cdot \text{ctg}(60^\circ) \cdot \sin(120^\circ) - 5 \cdot \cos(120^\circ) \]
Шаг 1: Найдем значения тригонометрических функций
Находим \(\text{ctg}(60^\circ)\): \[ \text{ctg}(x) = \frac{1}{\tan(x)} \] Для угла \(60^\circ\): \[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \text{ctg}(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
Находим \(\sin(120^\circ)\): Угол \(120^\circ\) находится во втором квадранте, и его синус равен: \[ \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Находим \(\cos(120^\circ)\): Угол \(120^\circ\) также во втором квадранте, и его косинус равен: \[ \cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} \]
Шаг 2: Подставим найденные значения в выражение
Теперь подставим найденные значения в исходную формулу:
\[ -6 \cdot \text{ctg}(60^\circ) \cdot \sin(120^\circ) - 5 \cdot \cos(120^\circ) \]
Подставляем \( \text{ctg}(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \), \( \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), и \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \):
\[ -6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]
Шаг 3: Упростим выражение
Упрощаем первый член: \[ -6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -6 \cdot \frac{1}{2} = -3 \]
Упрощаем второй член: \[ -5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{5}{2} \]
Шаг 4: Объединим оба результата
Теперь соберем все части вместе:
\[ -3 + \frac{5}{2} \]
Чтобы сложить числа, приведем \(-3\) к общему знаменателю (в данном случае 2):
\[ -3 = -\frac{6}{2} \]
Теперь можем складывать:
\[ -\frac{6}{2} + \frac{5}{2} = -\frac{6 - 5}{2} = -\frac{1}{2} \]
Ответ
Таким образом, окончательный ответ:
\[ -6 \cdot \text{ctg}(60^\circ) \cdot \sin(120^\circ) - 5 \cdot \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \]
