Построй граф, в котором
8
вершин: три из них изолированные, а каждая из оставшихся вершин соединена с четырьмя другими. Сколько рёбер в этом графе?
Давайте решим задачу по построению графа с указанными параметрами и определим количество рёбер.
1. **Обозначим вершины графа.** У нас есть 8 вершин, и пусть они будут обозначены как \( V_1, V_2, V_3, V_4, V_5, V_6, V_7, V_8 \).
2. **Изолированные вершины.** Среди 8 вершин, три вершины будут изолированными. Пусть это будут \( V_1, V_2, V_3 \). Это значит, что эти вершины не соединены ни с одной другой вершиной и имеют степень 0 (не имеют рёбер).
3. **Связанные вершины.** Остальные 5 вершин \( V_4, V_5, V_6, V_7, V_8 \) должны быть соединены друг с другом так, что каждая из них соединена с 4 другими вершинами.
Теперь давайте подумаем о том, как мы можем соединить 5 оставшихся вершин так, чтобы каждая из них имела степень 4.
4. **Проверка связи.** У нас 5 вершин, каждая из которых должна быть соединена с 4 другими. Поскольку у нас всего 5 вершин, каждая из вершина \( V_4, V_5, V_6, V_7, V_8 \) может одновременно соединяться только с 4 другие вершинами, что значит, что мы не можем соединить их так, чтобы достигнуть 4 рёбер для каждой, потому что тогда мы бы замкнули круг.
На практике, каждая из вершин может соединяться с любыми 4 из 5, но у нас только 5 вершин, поэтому давайте проверим, сколько рёбер будет в данной структуре.
5. **Количество рёбер.** Если каждая из 5 вершин соединена с 4 другими, мы можем подсчитать количество рёбер следующим образом:
\[
\text{Общее количество рёбер} = \frac{\sum \text{степей вершин}}{2}
\]
Так как у нас 5 вершин каждой со степенью 4:
\[
\text{Сумма степеней} = 5 \times 4 = 20
\]
Делим на 2, так как каждое ребро считается дважды (один раз для каждой соединенной вершины):
\[
\text{Количество рёбер} = \frac{20}{2} = 10
\]
Таким образом, в графе, который мы построили, будет 10 рёбер.
**Ответ:** В этом графе всего 10 рёбер.
