Окружность с центром O O описана около правильного четырёхугольника A B C D ABCD . Найди градусную меру угла A B D ABD .

Чтобы решить задачу, нам нужно проанализировать, что такое правильный четырёхугольник и как соотносятся углы внутри него с углами, образованными окружностью.

1. Правильный четырёхугольник ABCD — это квадрат. У него все стороны равны, а все углы равны 90 градусам.

2. Центр окружности O: Поскольку у нас есть квадрат, окружность, описанная около квадрата, будет проходить через все вершины (A, B, C и D) квадрата.

3. Шаги для нахождения угла ABD:

   • Мы знаем, что угол ABD образует две стороны квадрата: AB и AD.
   • Поскольку ABCD — это квадрат, угол ABD равен углу ABC плюс угол CAD.
   • Мы также знаем, что угол ABC равен 90 градусам, так как это прямой угол квадрата.

4. Свойства углов при окружности:

   • Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу в окружности, равны.
   • В нашем случае, угол ABD опирается на дугу, которая включает A и D. Соответственно, в основании этой окружности можно выделить равные углы.

5. Решение:

   • Угол AOB — это центральный угол, который равен 90° (поскольку квадрат ABCD имеет все углы по 90°).
   • Угол ABD — это вписанный угол, который равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу AB.

Таким образом, мы можем записать: \[ \angle ABD = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45°. \]

Итак, градусная мера угла \( \angle ABD \) равна 45 градусам.

Ответ: Угол \( \angle ABD = 45° \).