Окружность с центром  O O описана около правильного четырёхугольника  A B C D ABCD. Найди градусную меру угла  A B D ABD.

Чтобы решить задачу, нам нужно проанализировать, что такое правильный четырёхугольник и как соотносятся углы внутри него с углами, образованными окружностью. 1. **Правильный четырёхугольник ABCD** — это квадрат. У него все стороны равны, а все углы равны 90 градусам. 2. **Центр окружности O:** Поскольку у нас есть квадрат, окружность, описанная около квадрата, будет проходить через все вершины (A, B, C и D) квадрата. 3. **Шаги для нахождения угла ABD:** - Мы знаем, что угол ABD образует две стороны квадрата: AB и AD. - Поскольку ABCD — это квадрат, угол ABD равен углу ABC плюс угол CAD. - Мы также знаем, что угол ABC равен 90 градусам, так как это прямой угол квадрата. 4. **Свойства углов при окружности:** - Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу в окружности, равны. - В нашем случае, угол ABD опирается на дугу, которая включает A и D. Соответственно, в основании этой окружности можно выделить равные углы. 5. **Решение:** - Угол AOB — это центральный угол, который равен 90° (поскольку квадрат ABCD имеет все углы по 90°). - Угол ABD — это вписанный угол, который равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу AB. Таким образом, мы можем записать: \[ \angle ABD = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45°. \] Итак, градусная мера угла \( \angle ABD \) равна 45 градусам. ### Ответ: Угол \( \angle ABD = 45° \).