В четырёхугольник АВСD, периметр которого равен 36, вписана окружность, АВ = 7. Найдите CD.
Для решения задачи, давайте разберем все данные, которые у нас есть, и пройдемся по шагам.
Данные задачи:
- Периметр четырёхугольника ABCD равен 36.
- Сторона AB равна 7.
- Четырёхугольнику ABCD вписана окружность.
Свойство вписанного четырехугольника: Вписанный в четырехугольник окружность подразумевает, что сумма длин противоположных сторон равна. То есть: \[ AB + CD = AD + BC \]
Периметр четырехугольника: Периметр четырёхугольника ABCD можно выразить как сумму всех его сторон: \[ AB + BC + CD + AD = 36 \]
Обозначим оставшиеся стороны: Положим, что:
- \( AB = 7 \)
- \( CD = x \)
- \( AD = a \)
- \( BC = b \)
Заменим в уравнениях: Поскольку известен периметр: \[ 7 + b + x + a = 36 \] Сократим: \[ b + a + x = 29 \quad (1) \]
Используя свойство четырехугольника: Используем ранее упомянутое свойство: \[ 7 + x = a + b \quad (2) \]
Для того чтобы выразить \(a + b\): Из уравнения (2): \[ a + b = 7 + x \]
Подставим \(a + b\) из уравнения (2) в уравнение (1): Подставим: \[ 29 = 7 + x + x \] Это даёт: \[ 29 = 7 + 2x \] Переносим 7: \[ 22 = 2x \] Разделим обе стороны на 2: \[ x = 11 \]
Ответ: Таким образом, длина стороны \(CD\) равна 11.
Итак, \( CD = 11 \).
