Давайте подробнее разберем каждую из предложенных фраз и определим, какими членами предложения являются выделенные слова.
Я ценю твоё стремление ПОМОЧЬ.
- "ПОМОЧЬ" в данном предложении является инфинитивом (неличной формой глагола). Он выступает в роли дополнения к слову "стремление". То есть тут "стремление" — это подлежащее, а "помочь" — это дополнение, поясняющее, что именно ценит говорящий.
Учитель попросил меня РАЗДАТЬ тетради.
- "РАЗДАТЬ" также является инфинитивом. В этой конструкции "раздать" выступает в роли дополнения к глаголу "попросил", указывая на действие, которое учитель просит исполнить.
Её манера ГОВОРИТЬ нравилась всем.
- "ГОВОРИТЬ" — это опять инфинитив, который здесь выполняет роль дополнения к слову "манера". Он уточняет, какая именно манера нравилась всем.
Жизнь ПРОЖИТЬ - не поле перейти.
- "ПРОЖИТЬ" — это также инфинитив и, как и в предыдущих примерах, он выполняет роль сказуемого или дополнения в составе сравнительного оборота. В данном контексте он обозначает действие жизни, подчеркивая, что "прожить" означает нечто более сложное, чем простая задача.
Таким образом, во всех примерах выделенные слова являются инфинитивами, которые интегрируются в предложения как дополнения, объясняющие или уточняющие основное действие.