Найди вероятность, что Петр, стреляя из арбалета, попадет в мишень на девятом выстреле из десяти попыток, если вероятность попадания при одном выстреле равна 9/10.
Для решения этой задачи мы можем воспользоваться биномиальным распределением. Нам нужно найти вероятность того, что Петр попадет в мишень на девятом выстреле, при условии, что он попал 8 раз в первых 9 выстрелов. Для этого мы используем формулу биномиального распределения.
Обозначим:
- n = 10 (всего выстрелов)
- k = 9 (номер выстрела, в который он должен попасть)
- p = 9/10 (вероятность попадания)
- q = 1 - p = 1/10 (вероятность промаха)
Вероятность того, что он попадет ровно 8 раз за 9 выстрелов и в 10-м выстреле попадет в мишень, можно рассчитать следующим образом:
Вероятность того, что он попадет 8 раз из первых 9 выстрелов: \[ P(X = 8) = C(9, 8) \cdot p^8 \cdot q^1 \] где \(C(9, 8)\) — это биномиальный коэффициент, который равен 9.
Затем умножаем на вероятность попадания в 10-м выстреле: \[ P(9-й выстрел) = P(X = 8) \cdot p \]
Подставим значения: \[ C(9, 8) = 9 \] \[ P(X = 8) = 9 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^8 \cdot \left(\frac{1}{10}\right) \]
Теперь подставим в формулу: \[ P(9-й выстрел) = 9 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^8 \cdot \left(\frac{1}{10}\right) \cdot \left(\frac{9}{10}\right) \] \[ = 9 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^9 \cdot \left(\frac{1}{10}\right) \]
В итоге мы получаем: \[ P(9-й выстрел) = \frac{9 \cdot 9^9}{10^{10}}. \]
Это и будет необходимая вероятность того, что Петр попадет в мишень на девятом выстреле.
