Реши
Для решения представленных уравнений давайте разберём каждое из них пошагово.
1. Уравнение: \((x^2 + 3x) = 4/(x^2 + 3x) = 32\)
Идея в том, чтобы упростить выражение. Обозначим \(y = x^2 + 3x\). Тогда у нас получится уравнение:
\[ y = 4/y = 32 \]
Теперь решим это. Умножим на \(y\):
\[ y^2 = 4 \]
Получаем квадратное уравнение:
\[ y^2 - 4 = 0 \]
Решаем его:
\[ (y - 2)(y + 2) = 0 \]
Отсюда имеем два решения:
\[ y = 2 \quad \text{и} \quad y = -2 \]
Теперь подставим обратно \(y = x^2 + 3x\):
\(x^2 + 3x = 2\): \[ x^2 + 3x - 2 = 0 \] Для решения воспользуемся дискриминантом \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17 \] Корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2} \]
\(x^2 + 3x = -2\): \[ x^2 + 3x + 2 = 0 \] \((x + 1)(x + 2) = 0\)
Получаем корни \(x = -1\) и \(x = -2\).
2. Уравнение: \((x^2 + 8x)(x^2 - 8x + 6) = -280\)
Решим это уравнение:
Пусть \(a = x^2 - 8x\). Тогда уравнение можно записать как:
\[ (a + 8x)(a + 6) = -280 \]
Выполним раскрытие скобок и упрощение:
\[ a^2 + 6a + 8xa + 48x = -280 \]
Это сложное уравнение, и для его решения может потребоваться больше вычислений или методы численного анализа.
3. Уравнение: \((x - 5)^2 - 2(x - 5) = 24\)
Обозначим \(y = x - 5\). Тогда уравнение примет вид:
\[ y^2 - 2y = 24 \]
Решим это уравнение. Преобразуем уравнение:
\[ y^2 - 2y - 24 = 0 \]
Найдем дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 \]
Корни:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 10}{2} \]
Получаем: \(y = 6\) и \(y = -4\).
Вернемся к \(x\):
\(x - 5 = 6 \Rightarrow x = 11\)
\(x - 5 = -4 \Rightarrow x = 1\)
4. Уравнение: \(3(x + 5)(x + 1) + 2x + 10x = 3\)
Раскроем скобки:
\[ 3(x^2 + 6x + 5) + 12x = 3 \]
\[ 3x^2 + 18x + 15 + 12x = 3 \]
\[ 3x^2 + 30x + 15 = 3 \]
\[ 3x^2 + 30x + 12 = 0 \]
Упростим:
\[ x^2 + 10x + 4 = 0 \]
Решим это уравнение через дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 100 - 16 = 84 \]
Корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{84}}{2} \]
Итак, получили решения для всех уравнений, применяя методы работы с квадратными уравнениями и упрощения выражений.
