Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может a) добавить в кучу один камень; б) добавить в кучу два камня; в) добавить в кучу три камня. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 21 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 s S $ 20. Вопрос 1. Известно, что Ваня может гарантированно выиграть своим первым ходом. Укажите значение S, с которого началась игра.

Для начала разберем правила игры и условия победы. Игроки по очереди добавляют камни в кучу, и игра заканчивается, когда количество камней превышает 20. Победителем становится тот, кто сделает этот последний ход, то есть сможет довести количество камней до 21 или больше. 1. **Анализ условий выигрыша:** - Если в любой момент на столе окажется 20 камней, то игрок, который получает ход, выиграет, добавив хотя бы один камень (21 камень). Поэтому для игрока, который делает ход, критически важно не позволять противнику достичь этого количества, управляя общим числом камней на столе. 2. **Искусство анализа позиций:** - Мы можем определить "плохие" и "хорошие" позиции. "Плохая" позиция — это такая, из которой противник, сделав лучший ход, сможет всегда обойтись без проигрыша. "Хорошая" позиция — это такая, из которой можно переместиться в "плохую". 3. **Работа с возможными позициями:** - Если S = 20, игрок, который начинает, безусловно, проиграет, так как он позволил противнику мгновенно победить. - Если S = 19, игрок может добавить один камень и выиграть, но противник также может добавить два или три камня и тоже выигрывать. Следовательно, S = 19 — плохая позиция для первого игрока (Пети). - Если S = 18, Петя может добавить три камня (достигнув 21), тем самым обеспечивая свою победу. Следовательно, это хорошая позиция для Пети. Анализируя все варианты от 1 до 20: - 20 — плохая (Ваня выиграет) - 19 — хорошая (Петя использует 20) - 18 — плохая (Ваня выиграет) - 17 — хорошая (Петя использует 20) - 16 — плохая (Ваня выиграет) - 15 — хорошая (Петя использует 20) - 14 — плохая (Ваня выиграет) - 13 — хорошая (Петя использует 20) - 12 — плохая (Ваня выиграет) - 11 — хорошая (Петя использует 20) - 10 — плохая (Ваня выиграет) - 9 — хорошая (Петя использует 20) - 8 — плохая (Ваня выиграет) - 7 — хорошая (Петя использует 20) - 6 — плохая (Ваня выиграет) - 5 — хорошая (Петя использует 20) - 4 — плохая (Ваня выиграет) - 3 — хорошая (Петя использует 20) - 2 — плохая (Ваня выиграет) - 1 — хорошая (Петя использует 20) Таким образом, Ваня может гарантированно выиграть, если игра начнется с одного из следующих значений: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19. После анализа всех возможных стартовых позиций, можно вывести, что стартовая позиция S, при которой Ваня с уверенностью выигрывает своим первым ходом, составляет 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17 и 19.