Найдите длину отрезка KN, изображённого на рисун-ке 69, если KMO = 30°, КМ = 5 см.
Для решения задачи нам нужно рассмотреть треугольник \( \triangle KMO \), где \( \angle KMO = 30^\circ \), \( KM = 5 \) см, и найти длину отрезка \( KN \).
Шаг 1: Анализ треугольника
В треугольнике \( \triangle KMO \) у нас есть:
- \( KM = 5 \) см
- \( \angle KMO = 30^\circ \)
Шаг 2: Теорема о касательных
Точки \( K \) и \( N \) лежат на окружности, и \( KO \) и \( NO \) — касательные, исходящие из точки \( O \). По свойству касательных из одной точки, отрезки \( KO \) и \( NO \) равны по длине.
Угол между радиусом, проведённым в точку касания, и касательной равен \( 90^\circ \).
Шаг 3: Использование соотношений в треугольнике
Треугольник \( \triangle KMO \) является равнобедренным (т.к. \( KO = NO \)). Поэтому:
- Угол \( \angle KMO = 30^\circ \)
В равнобедренном треугольнике, если угол при основании равен \( 30^\circ \), то угол при вершине будет равен \( 120^\circ \).
Шаг 4: Решение в равнобедренном треугольнике
Так как \( KO = NO \) и \( \angle KMO = 30^\circ \), можем использовать синус угла, чтобы найти \( KN \).
Используем треугольник \( \triangle KNO \). Зная, что это прямоугольный треугольник, где \( \angle KNO = 30^\circ \) и гипотенуза \( KO = KN = NO \).
Для треугольника с углом \( 30^\circ \) соотношение сторон:
- Противолежащая катету, который равен половине гипотенузы.
В этом случае \( KO \) — гипотенуза: \[ KO = 5 \cdot \frac{1}{\cos(30^\circ)} = \frac{5}{\sqrt{3}/2} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \, \text{см} \]
Таким образом, длина отрезка \( KN \) равна длине \( KO \), которую мы посчитали: \[ KN = 5 \, \text{см} \]
Ответ: \( KN = 5 \, \text{см} \).
