Для решения задачи нам нужно рассмотреть треугольник ( \triangle KMO ), где ( \angle KMO = 30^\circ ), ( KM = 5 ) см, и найти длину отрезка ( KN ).
Шаг 1: Анализ треугольника
В треугольнике ( \triangle KMO ) у нас есть:
- ( KM = 5 ) см
- ( \angle KMO = 30^\circ )
Шаг 2: Теорема о касательных
Точки ( K ) и ( N ) лежат на окружности, и ( KO ) и ( NO ) — касательные, исходящие из точки ( O ). По свойству касательных из одной точки, отрезки ( KO ) и ( NO ) равны по длине.
Угол между радиусом, проведённым в точку касания, и касательной равен ( 90^\circ ).
Шаг 3: Использование соотношений в треугольнике
Треугольник ( \triangle KMO ) является равнобедренным (т.к. ( KO = NO )). Поэтому:
- Угол ( \angle KMO = 30^\circ )
В равнобедренном треугольнике, если угол при основании равен ( 30^\circ ), то угол при вершине будет равен ( 120^\circ ).
Шаг 4: Решение в равнобедренном треугольнике
Так как ( KO = NO ) и ( \angle KMO = 30^\circ ), можем использовать синус угла, чтобы найти ( KN ).
Используем треугольник ( \triangle KNO ).
Зная, что это прямоугольный треугольник, где ( \angle KNO = 30^\circ ) и гипотенуза ( KO = KN = NO ).
Для треугольника с углом ( 30^\circ ) соотношение сторон:
- Противолежащая катету, который равен половине гипотенузы.
В этом случае ( KO ) — гипотенуза:
[ KO = 5 \cdot \frac{1}{\cos(30^\circ)} = \frac{5}{\sqrt{3}/2} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} , \text{см} ]
Таким образом, длина отрезка ( KN ) равна длине ( KO ), которую мы посчитали:
[ KN = 5 , \text{см} ]
Ответ: ( KN = 5 , \text{см} ).
