Исследовать функцию f(x)=x^2+3x

Чтобы исследовать функцию \( f(x) = x^2 + 3x \), мы проведем несколько шагов, включая нахождение производной, определение экстремумов, исследование знаков функции и построение графика. ### Шаг 1: Определение области определения Функция является многочленом, поэтому область её определения — все действительные числа: \[ D(f) = \mathbb{R} \] ### Шаг 2: Нахождение производной Находим первую производную функции, чтобы выяснить, где функция возрастает или убывает: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x) = 2x + 3 \] ### Шаг 3: Нахождение критических точек Критическими точками называются такие значения \( x \), при которых производная равна нулю или не определена. Найдем, где \( f'(x) = 0 \): \[ 2x + 3 = 0 \\ 2x = -3 \\ x = -\frac{3}{2} \] ### Шаг 4: Исследование знаков производной Теперь определим знак первой производной на интервалах: 1. \( x < -\frac{3}{2} \): например, возьмем \( x = -2 \): \[ f'(-2) = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 \quad (функция убывает) \] 2. \( x > -\frac{3}{2} \): например, возьмем \( x = 0 \): \[ f'(0) = 2(0) + 3 = 3 \quad (функция возрастает) \] Таким образом, функция убывает на интервале \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \) и возрастает на интервале \( (-\frac{3}{2}, +\infty) \). ### Шаг 5: Нахождение второго производного и изгиба Найдем вторую производную: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(2x + 3) = 2 \] Вторая производная положительна для всех \( x \), поэтому функция выпуклая на всей области определения. ### Шаг 6: Нахождение минимума функции Критическая точка \( x = -\frac{3}{2} \) является минимумом, потому что производная меняет знак с отрицательного на положительный. Для нахождения минимального значения функции, подставим \( x = -\frac{3}{2} \) в исходное уравнение: \[ f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{2}\right) \\ = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \\ = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} = -\frac{9}{4} \] Итак, минимум функции \( f(x) \) равен \( -\frac{9}{4} \), а точка минимума — \( x = -\frac{3}{2} \). ### Шаг 7: Составление графика функции Теперь, когда у нас есть все детали, можно построить график функции. График будет иметь форму параболы, открывающейся вверх, с минимумом в точке \( (-\frac{3}{2}, -\frac{9}{4}) \). ### Итог Функция \( f(x) = x^2 + 3x \) имеет: - Минимум в точке \( (-\frac{3}{2}, -\frac{9}{4}) \) - Область определения \( D(f) = \mathbb{R} \) - Убывает на интервале \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \) - Возрастает на интервале \( (-\frac{3}{2}, +\infty) \) Это полное исследование функции! Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с графиком, дайте знать!