Исследовать функцию f(x)=x^2+3x

Чтобы исследовать функцию \( f(x) = x^2 + 3x \), мы проведем несколько шагов, включая нахождение производной, определение экстремумов, исследование знаков функции и построение графика.

Шаг 1: Определение области определения

Функция является многочленом, поэтому область её определения — все действительные числа: \[ D(f) = \mathbb{R} \]

Шаг 2: Нахождение производной

Находим первую производную функции, чтобы выяснить, где функция возрастает или убывает: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x) = 2x + 3 \]

Шаг 3: Нахождение критических точек

Критическими точками называются такие значения \( x \), при которых производная равна нулю или не определена. Найдем, где \( f'(x) = 0 \): \[ 2x + 3 = 0 \\ 2x = -3 \\ x = -\frac{3}{2} \]

Шаг 4: Исследование знаков производной

Теперь определим знак первой производной на интервалах:

1. \( x < -\frac{3}{2} \): например, возьмем \( x = -2 \): \[ f'(-2) = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 \quad (функция убывает) \]
2. \( x > -\frac{3}{2} \): например, возьмем \( x = 0 \): \[ f'(0) = 2(0) + 3 = 3 \quad (функция возрастает) \]

Таким образом, функция убывает на интервале \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \) и возрастает на интервале \( (-\frac{3}{2}, +\infty) \).

Шаг 5: Нахождение второго производного и изгиба

Найдем вторую производную: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(2x + 3) = 2 \] Вторая производная положительна для всех \( x \), поэтому функция выпуклая на всей области определения.

Шаг 6: Нахождение минимума функции

Критическая точка \( x = -\frac{3}{2} \) является минимумом, потому что производная меняет знак с отрицательного на положительный.

Для нахождения минимального значения функции, подставим \( x = -\frac{3}{2} \) в исходное уравнение: \[ f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{2}\right) \\ = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \\ = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} = -\frac{9}{4} \]

Итак, минимум функции \( f(x) \) равен \( -\frac{9}{4} \), а точка минимума — \( x = -\frac{3}{2} \).

Шаг 7: Составление графика функции

Теперь, когда у нас есть все детали, можно построить график функции. График будет иметь форму параболы, открывающейся вверх, с минимумом в точке \( (-\frac{3}{2}, -\frac{9}{4}) \).

Итог

Функция \( f(x) = x^2 + 3x \) имеет:

• Минимум в точке \( (-\frac{3}{2}, -\frac{9}{4}) \)
• Область определения \( D(f) = \mathbb{R} \)
• Убывает на интервале \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \)
• Возрастает на интервале \( (-\frac{3}{2}, +\infty) \)

Это полное исследование функции! Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с графиком, дайте знать!