Для решения задачи о нахождении площади поверхности прямой треугольной призмы, сначала вспомним, что она состоит из основы, двух боковых граней и верхней грани, которая идентична основанию.
Шаг 1: Найдем площадь основания
Основание призмы — это прямоугольный треугольник с катетами 7 и 24. Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \times a \times b
]
где (a) и (b) — длины катетов.
Подставим наши значения:
[
S = \frac{1}{2} \times 7 \times 24
]
[
S = \frac{1}{2} \times 168
]
[
S = 84
]
Итак, площадь основания прямой треугольной призмы равна 84 квадратных единиц.
Шаг 2: Найдем периметр основания
Периметр прямоугольного треугольника можно найти, вычислив длину гипотенузы по теореме Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
]
где (c) — гипотенуза, (a) и (b) — катеты. Подставим значения:
[
c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25
]
Теперь, найдём периметр (P) треугольника:
[
P = a + b + c = 7 + 24 + 25 = 56
]
Шаг 3: Найдем площадь боковых граней
Боковые грани призмы представляют собой прямоугольники. У нас есть три боковых грани:
Две боковые грани, высота которых равна высоте призмы (15), и основание вдоль катетов:
- Площадь первой боковой грани (катет 7):
[
S_1 = 7 \times 15 = 105
]
- Площадь второй боковой грани (катет 24):
[
S_2 = 24 \times 15 = 360
]
Площадь третьей боковой грани (гипотенуза 25):
[
S_3 = 25 \times 15 = 375
]
Теперь найдем общую площадь боковых граней (S_{\text{стены}}):
[
S_{\text{стены}} = S_1 + S_2 + S_3 = 105 + 360 + 375 = 840
]
Шаг 4: Найдем полную площадь поверхности призмы
Теперь мы можем найти общую площадь поверхности призмы, которая включает два основания и площади боковых граней:
[
S_{\text{поверхности}} = 2 \times S_{\text{основание}} + S_{\text{стены}} = 2 \times 84 + 840
]
Теперь подставим значения:
[
S_{\text{поверхности}} = 168 + 840 = 1008
]
Ответ:
Площадь поверхности прямой треугольной призмы равна 1008 квадратных единиц.
