Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 24, высота призмы равна 15. Найдите площадь ее поверхности.
Для решения задачи о нахождении площади поверхности прямой треугольной призмы, сначала вспомним, что она состоит из основы, двух боковых граней и верхней грани, которая идентична основанию.
Шаг 1: Найдем площадь основания
Основание призмы — это прямоугольный треугольник с катетами 7 и 24. Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]
где \(a\) и \(b\) — длины катетов.
Подставим наши значения:
\[ S = \frac{1}{2} \times 7 \times 24 \] \[ S = \frac{1}{2} \times 168 \] \[ S = 84 \]
Итак, площадь основания прямой треугольной призмы равна 84 квадратных единиц.
Шаг 2: Найдем периметр основания
Периметр прямоугольного треугольника можно найти, вычислив длину гипотенузы по теореме Пифагора:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
где \(c\) — гипотенуза, \(a\) и \(b\) — катеты. Подставим значения:
\[ c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \]
Теперь, найдём периметр \(P\) треугольника:
\[ P = a + b + c = 7 + 24 + 25 = 56 \]
Шаг 3: Найдем площадь боковых граней
Боковые грани призмы представляют собой прямоугольники. У нас есть три боковых грани:
Две боковые грани, высота которых равна высоте призмы (15), и основание вдоль катетов:
- Площадь первой боковой грани (катет 7): \[ S_1 = 7 \times 15 = 105 \]
- Площадь второй боковой грани (катет 24): \[ S_2 = 24 \times 15 = 360 \]
Площадь третьей боковой грани (гипотенуза 25): \[ S_3 = 25 \times 15 = 375 \]
Теперь найдем общую площадь боковых граней \(S_{\text{стены}}\):
\[ S_{\text{стены}} = S_1 + S_2 + S_3 = 105 + 360 + 375 = 840 \]
Шаг 4: Найдем полную площадь поверхности призмы
Теперь мы можем найти общую площадь поверхности призмы, которая включает два основания и площади боковых граней:
\[ S_{\text{поверхности}} = 2 \times S_{\text{основание}} + S_{\text{стены}} = 2 \times 84 + 840 \]
Теперь подставим значения:
\[ S_{\text{поверхности}} = 168 + 840 = 1008 \]
Ответ:
Площадь поверхности прямой треугольной призмы равна 1008 квадратных единиц.
