стороны прямоугольника у которого периметр равен 14см а сумма площадей квадратов построенных на двух смежных сторонах равна 25 см решить систему уравнений методом подстановки
Для решения данной задачи начнем с того, что обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \). Мы имеем две величины, с которыми будем работать: периметр прямоугольника и сумма площадей квадратов, построенных на его смежных сторонах.
Периметр: Периметр прямоугольника \( P \) можно выразить как: \[ P = 2a + 2b \] Согласно условию, периметр равен 14 см, значит: \[ 2a + 2b = 14 \] Упростим это уравнение, разделив обе стороны на 2: \[ a + b = 7 \quad (1) \]
Сумма площадей квадратов: Площадь квадрата, построенного на стороне \( a \), равна \( a^2 \), а на стороне \( b \) — \( b^2 \). Согласно условию задачи, сумма этих площадей равна 25 см²: \[ a^2 + b^2 = 25 \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений: \[ \begin{cases} a + b = 7 \quad (1)\\ a^2 + b^2 = 25 \quad (2) \end{cases} \]
- Метод подстановки: Из уравнения (1) выразим \( b \): \[ b = 7 - a \] Подставим \( b \) в уравнение (2): \[ a^2 + (7 - a)^2 = 25 \]
Теперь раскроем скобки: \[ a^2 + (7 - a)^2 = 25 \] \[ a^2 + (49 - 14a + a^2) = 25 \] \[ 2a^2 - 14a + 49 = 25 \]
Упрощаем уравнение, перенесем 25 на левую сторону: \[ 2a^2 - 14a + 49 - 25 = 0 \] \[ 2a^2 - 14a + 24 = 0 \]
- Упрощаем уравнение: Разделим всё на 2: \[ a^2 - 7a + 12 = 0 \]
Теперь решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]
Находим корни: Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 1}{2} \] Получаем два корня: \[ a_1 = \frac{8}{2} = 4 \] \[ a_2 = \frac{6}{2} = 3 \]
Находим значения \( b \): Подставим найденные значения \( a \) в уравнение (1):
- Для \( a = 4 \): \[ b = 7 - 4 = 3 \]
- Для \( a = 3 \): \[ b = 7 - 3 = 4 \]
Таким образом, стороны прямоугольника составляют \( a = 4 \) см и \( b = 3 \) см (или наоборот).
Итог: Стороны прямоугольника равны 4 см и 3 см.
