периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см2. найдите длины сторон прямоугольника

Чтобы найти длины сторон прямоугольника, зная его периметр и площадь, давайте обозначим стороны прямоугольника как \( a \) (длина) и \( b \) (ширина).

Известные условия:

1. Периметр: \( P = 2(a + b) = 26 \) см.
2. Площадь: \( S = a \cdot b = 36 \) см².

Шаг 1: Запишем уравнения

Из периметра выражаем одну из сторон: \[ a + b = \frac{26}{2} = 13 \quad \text{(1)} \]

Из площади имеем: \[ a \cdot b = 36 \quad \text{(2)} \]

Шаг 2: Выразим одну переменную через другую

Из уравнения (1) выразим \( b \): \[ b = 13 - a \quad \text{(3)} \]

Шаг 3: Подставим выражение для \( b \) в уравнение площади (2)

Подставим \( b \) из (3) в (2): \[ a \cdot (13 - a) = 36 \] Раскроем скобки: \[ 13a - a^2 = 36 \] Перепишем в стандартной форме уравнения: \[ -a^2 + 13a - 36 = 0 \] Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид: \[ a^2 - 13a + 36 = 0 \quad \text{(4)} \]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение (4) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 \]

Теперь найдём корни уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ a = \frac{13 \pm 5}{2} \]

Таким образом, получаем два значения для \( a \):

1. \( a_1 = \frac{18}{2} = 9 \)
2. \( a_2 = \frac{8}{2} = 4 \)

Шаг 5: Найдем значения \( b \)

Теперь найдём соответствующие значения \( b \): Для \( a = 9 \): \[ b = 13 - 9 = 4 \]

Для \( a = 4 \): \[ b = 13 - 4 = 9 \]

Шаг 6: Вывод

Таким образом, длины сторон прямоугольника:

• Одной стороной является 9 см, другой стороной 4 см.

Проверка

Проверим условия:

• Периметр: \( 2(9 + 4) = 2 \cdot 13 = 26 \) см (верно).
• Площадь: \( 9 \cdot 4 = 36 \) см² (верно).

Ответ: Длины сторон прямоугольника равны 9 см и 4 см.