Чтобы найти длины сторон прямоугольника, зная его периметр и площадь, давайте обозначим стороны прямоугольника как ( a ) (длина) и ( b ) (ширина).
Известные условия:
- Периметр: ( P = 2(a + b) = 26 ) см.
- Площадь: ( S = a \cdot b = 36 ) см².
Шаг 1: Запишем уравнения
Из периметра выражаем одну из сторон:
[
a + b = \frac{26}{2} = 13 \quad \text{(1)}
]
Из площади имеем:
[
a \cdot b = 36 \quad \text{(2)}
]
Шаг 2: Выразим одну переменную через другую
Из уравнения (1) выразим ( b ):
[
b = 13 - a \quad \text{(3)}
]
Шаг 3: Подставим выражение для ( b ) в уравнение площади (2)
Подставим ( b ) из (3) в (2):
[
a \cdot (13 - a) = 36
]
Раскроем скобки:
[
13a - a^2 = 36
]
Перепишем в стандартной форме уравнения:
[
-a^2 + 13a - 36 = 0
]
Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид:
[
a^2 - 13a + 36 = 0 \quad \text{(4)}
]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение
Теперь решим квадратное уравнение (4) с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25
]
Теперь найдём корни уравнения:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2}
]
[
a = \frac{13 \pm 5}{2}
]
Таким образом, получаем два значения для ( a ):
- ( a_1 = \frac{18}{2} = 9 )
- ( a_2 = \frac{8}{2} = 4 )
Шаг 5: Найдем значения ( b )
Теперь найдём соответствующие значения ( b ):
Для ( a = 9 ):
[
b = 13 - 9 = 4
]
Для ( a = 4 ):
[
b = 13 - 4 = 9
]
Шаг 6: Вывод
Таким образом, длины сторон прямоугольника:
- Одной стороной является 9 см, другой стороной 4 см.
Проверка
Проверим условия:
- Периметр: ( 2(9 + 4) = 2 \cdot 13 = 26 ) см (верно).
- Площадь: ( 9 \cdot 4 = 36 ) см² (верно).
Ответ: Длины сторон прямоугольника равны 9 см и 4 см.
