Реши задание

Для задачи №1 необходимо найти область определения функций для каждой из заданных формул.

1. a) \( y = 5x^2 - 3x \)

Функция является многочленом. Многочлены определены на всей числовой оси, поэтому:

• Область определения: \( x \in (-\infty, +\infty) \).

1. b) \( y = \dfrac{x+1}{x-3} \)

Функция имеет знаменатель \( x - 3 \), который не должен быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно:

• Приравниваем знаменатель к нулю: \( x - 3 = 0 \).
• \( x = 3 \) — это точка, где функция не определена.

Таким образом, область определения:

• Область определения: \( x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty) \).

1. c) \( y = \sqrt{x + 5} \)

Функция содержит квадратный корень. Подкоренное выражение \( x + 5 \) должно быть больше или равно нулю:

• \( x + 5 \geq 0 \).
• \( x \geq -5 \).

Это значит, что:

• Область определения: \( x \in [-5, +\infty) \).

1. d) \( y = \sqrt{\dfrac{x+1}{x-2}} \)

Здесь ситуация сложнее, так как подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю, и при этом знаменатель не должен быть равен нулю:

1. Подкоренное выражение положительно или равно нулю: \[ \dfrac{x+1}{x-2} \geq 0 \]

2. Найдём нули числителя и знаменателя:

   • \( x + 1 = 0 \) и \( x - 2 = 0 \)
   • \( x = -1 \) и \( x = 2 \)

3. Определяем знаки на промежутках:

   • На промежутке \( (-\infty, -1) \) и \( (2, +\infty) \), \(\dfrac{x+1}{x-2}\) положительно.
   • На промежутке \( (-1, 2) \) отрицательно.

4. С учётом этих промежутков и исключения точки, где знаменатель \( x=2 \), область определения будет:

   • Область определения: \( x \in (-\infty, -1] \cup (2, +\infty) \).

Теперь, рассмотрев все части, мы нашли область определения для каждой из функций.