Каждый день рождения родители Ксюши клали в копилку столько рублей, сколько ей исполнилось месяцев. Сейчас там 660 рублей. Сколько Ксюше лет?
Для решения данной задачи, давайте разберем информацию, которая у нас есть:
- Каждый день рождения Ксюши ее родители клали в копилку столько рублей, сколько ей исполнилось месяцев.
- На текущий момент в копилке накопилось 660 рублей.
Сначала определим, сколько месяцев Ксюше исполнилось, если она достигла определенного возраста. Если Ксюше x лет, то в месяцах это будет 12x месяцев. В этом возрасте Ксюша получит деньги в день рождения x раз (раз в год).
Теперь давайте рассчитаем общую сумму, которая была бы в копилке. Каждый год (в день рождения) родители добавляют сумму, равную количеству месяцев, которые Ксюше исполнилось. Это значит, что в копилке будет сумма денег от всех ее дней рождения:
- В первый год (1 год = 12 месяцев) кладут 12 рублей.
- На второй день рождения (2 года = 24 месяца) добавят 24 рубля.
- На третий день рождения (3 года = 36 месяцев) добавят 36 рублей.
- На четвертый день рождения (4 года = 48 месяцев) добавят 48 рублей.
И так далее до ее x лет. Суммируя все эти суммы, мы можем получить формулу:
\[ S = 12 + 24 + 36 + ... + 12x = 12(1 + 2 + 3 + ... + x) \]
Сумма последовательности от 1 до x равняется:
\[ \frac{x(x + 1)}{2} \]
Следовательно, вся сумма выражается как:
\[ S = 12 \cdot \frac{x(x + 1)}{2} = 6x(x + 1) \]
По условию задачи, мы знаем, что:
\[ 6x(x + 1) = 660 \]
Теперь можем упростить уравнение, разделив обе стороны на 6:
\[ x(x + 1) = 110 \]
Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Это можно сделать, перенеся все в одну сторону:
\[ x^2 + x - 110 = 0 \]
Теперь мы можем воспользоваться формулой квадратичного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -110 \).
Посчитаем дискриминант:
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441 \]
Теперь найдем корни уравнения:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 1} \] \[ \sqrt{441} = 21 \]
Подставим:
\[ x = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10 \] \[ x = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11 \] (отрицательный корень не подходит, так как возраст не может быть отрицательным)
Таким образом, Ксюше 10 лет.
Ответ: Ксюше 10 лет.
